追根求源 让数学学习浸润科学文化的底蕴

吴青

摘   要：在数学学习中，我们经常会遇到人为约定的情形。为了帮助学生更好地认识这种人为约定的必要，更好地理解、掌握数学知识，教师需要和学生一起探究约定俗成背后的数学渊源，从历史、人文、科学等多角度分析约定俗成的合理意义，沟通数学与其他学科之间的联系，从而让数学学习浸润科学文化的底蕴。

关键词：小学数学；确定位置；科学文化

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2023）19/22-0038-04

一、问题缘起

苏教版小学数学六年级下册第四单元 “确定位置”是让学生用带有角度的方向和距离，来描述平面上各点的准确位置，比如书本例题中的灯塔在轮船的北偏东30°方向6千米处，这种表示物体位置的方法其实类似于极坐标法。

本课教学有一个重点，就是要用“北偏东30°”这样的方式来描述物体的准确方向。在生活中我们经常说“东北”这个方位词，但是“东北”只是一个大概的方向，只要在东和北之间都可以叫做东北。要想准确地指定东和北之间的某一个具体方向，就必须加上一个角度，比如说成“北偏东30°”。

但是，为什么要说成“北偏东”而不是“东偏北”，对学生来说有些难以理解，因为在他们看来这两个词语都可以表示东和北之间。

如果我们只是简单地告诉学生，这是人们约定俗成的说法，一定要说成“北偏东”，而不能说成“东偏北”，那么经过多次练习巩固之后，他们会逐渐掌握正确的表述方式，但是并没有真正理解其本质，因为他们只是被简单的“告知”与反复地机械训练。

其实采用“北偏东”这种说法，虽说是人为约定的，但却有着极丰富的内在的文化、科学等方面的历史渊源。所以深入探究数学知识“约定俗成”背后的人文渊源，将有助于学生更好地理解并掌握这些数学知识。

二、追根求源

为什么东北要说成“北偏东”而不是“东偏北”，学生对此不易接受、容易混淆，但又很好奇、想要究其根源。这其中涉及到古人在认识、探索宇宙过程中逐步积累起来的科学知识与生活经验，在课堂上，如果教师能够帮助学生理解知识的来龙去脉，就可以顺利地进行知识同化，在此基础上的知识学习将会更加有效。

（一）中西方语言文化

在汉语中，“东北”这个词语的构成和红花、大树等词语相同，后面的“北”是中心词，而前面的“东”是形容词，来修饰中心词“北”，表示“东的北”“偏向东的北”。

而在英语中，“东北”有三种说法：north east， north by east， North easterly，它们都可以简写成“NE”。着重分析最后一个，我们知道“north”表示北，“east”表示东，那么加上后缀“erly”之后，“easterly”就表示“东的，向东的”。很显然，“North easterly”表示向东的北，偏向东的北。

看来，不管是汉语还是英语，表示东北方向的词组，都是以“北”为中心词，表示“偏向东的北”或“从北偏向东”，因此可以简短的说成“北偏东”。

类似的，西北方向也是以北为标准，要说成“北偏西”，而东南和西南方向则是以南为标准，要说成“南偏东”“南偏西”。

（二）北极星

在东、南、西、北这四个方向中，我们古人在确定方位时，都不约而同地选择以北和南为坐标，而不是以东和西为坐标，这是为什么？

东、南、西、北这四个方向都是古人在认识大自然的过程中形成的，然而它们之间却是有差别的。几千年前，古人就开始夜观天象，经过长期地觀察研究，他们发现日月星辰都在不停的运动，而只有一颗星在天空中的位置看起来几乎不动，古人将之称为“北极星”。

后来人们知道，因为地球在不停地自转，就造成了日月星辰看起来在不停地绕着地球转动；而地球自转轴所指的方向正好对着北极星附近，因此北极星在天空的位置看起来就几乎不变。人们把北极星所指的方向定为北，那么相反的方向就是南，有了北和南，就可以确定东和西这两个方向了。古人在大海中航行，在沙漠、森林、田野上跋涉时，总是通过北极星来指示方向。

可能有人会认为，我们可以把早晨太阳升起的方向定为东，晚上太阳落下的方向定为西。有了东和西，然后再确定南和北，不是也可以吗？

由于地球在绕太阳公转的同时，是倾斜着身子在进行自转，这就造成每天太阳日出的位置都在不停地变化。通过长时间的观察可以发现，冬天日出的方向在正东偏南，夏天日出的方向在正东偏北。而且处于不同地理纬度上的地区，日出位置也不相同。因此用这种方法得到的东和西，存在着很大的不确定性，所以不适合用来较准确地确定位置。因此我们是以南北方向为标准。

（三）指南针

我们出门在外，除了可以根据北极星来确定方向之外，还可以通过指南针来指示南北方向。指南针为什么能够指出南北方向？因为地球内部有一个巨大的磁场，可以根据磁铁同极相斥、异极相吸的特点，用指南针上的磁铁指出南北方向。

其实指南针指示的只是地磁场的南极和北极，而非真正的地理南极和北极，但是地磁场的两极位于地理两极附近，差距不大，所以我们仍然可以通过指南针来指示南北方向。

从上面的分析中我们可以看出，中西方语言都是以南和北为坐标，而地球自转和地球磁场也都决定了南北方向的重要性，所以我们在确定方向时，是以南和北为坐标，所以要说成“北偏东”，而不能说成“东偏北”。

在课堂上，我们和学生简要地从这三个方面进行分析，明确了“北偏东”这种说法的根源。和原先直接告诉学生的教学方式相比，这样的教学过程把枯燥的说教变为生动的探究，能够激发学生强烈的学习热情，产生浓厚的学习兴趣，既调动了学生学习的积极性，又培养学生严谨、认真的探究精神，更加有助于学生对知识的理解和掌握。

三、纵向比较

对小学生来说，确定位置的学习贯穿了整个小学阶段，对学生的要求逐步提高，描述物体位置的方法 也越来越精确。

一年级第一学期，刚刚跨入小学大门的孩子就认识了前、后、左、右，这是最基础的确定位置的方法，只能确定以观测者为中心的前后、左右这两条直线上的方向，这也相当于是以观测者为原点的直角坐标系的两条坐标轴上的方向。这时的方向，与观测者的朝向有关，因此具有不确定性，一旦观测者的朝向发生了变化，那么前、后、左、右这四个方向也随之变化。

二年级第二学期，学生通过早晨面向太阳时的前、后、左、右，认识了东、南、西、北四个方向，并在此基础上又进一步认识了东北、东南、西北、西南这四个方向，此时四面八方中的这八个方向不再受观测者朝向的影响，而是完全依赖于地球的自转与太阳的东升西落，此时描述的方向更加准确。

四年级第二学期，学生学习用数对来确定位置，这其实相当于平面直角坐标系中用一个有序数对（x，y）来确定平面上的点的位置，物体的位置更加精确，根据这个有序数对，我们就可以方便地找到平面上的点。只是这时的数对还是会受到观测者朝向与位置的影响。

而六年级第二学期最后一次学习确定位置，则是用带有角度的方向和距离来确定位置，这相当于极坐标系中用有序数对（ρ，θ）来确定平面上的点的位置。因为这时的角度是以南北方向为基准的，所以不再受到观测者朝向与位置的影响。

可以看出，小学阶段前两次学习的只是确定方向，而后两次则是确定平面上一个点的位置；四年级时的数对会受到观测者朝向与位置的影响，而六年级的方向和距离则不再受观测者朝向与位置的影响，描述上更加准确。

所以小学阶段四次学习确定位置的方法，是在螺旋中不断提高要求，使得确定位置的方法越来越精确。我们在教学时，可以和學生一起回顾前面几次确定位置的方法，分析它们之间的区别，明确表示方法的不同要求，从而帮助学生更好地认识用方向和距离确定位置的方法，加深理解并巩固应用。

四、横向拓展

在数学教学中，我们经常会遇到类似的具有“约定俗成”的情形，如果我们能够和学生探究“约定俗成”背后的丰富内涵，则会让学生对这一数学知识有一个更加全面、深刻的认识，从而更好地理解掌握。

（一）分数分成真分数与假分数两大类

在认识了分数的意义之后，我们根据分子和分母的大小关系，将分数进行分类，一般分为真分数和假分数两大类。

在通过实践操作得出许多具体的分数的基础上，我们让学生独立进行分类。多数学生是将这些分数分成三类，即分子小于分母、分子等于分母和分子大于分母这三类。随后教师会告诉学生，我们一般把分子等于分母和分子大于分母的分数合并在一起作为一类，从而将全体分数分为两大类：分子小于分母的分数称为真分数，而分子等于或大于分母的分数称为假分数。

对于这样的“约定”分类，学生能够接受，但不知其所以然，不知道为什么要把“分子等于分母和分子大于分母”这两类合并在一起统称为假分数。以后在遇到“假分数”的有关命题时，也总是会忽略掉“分子等于分母（即分数值等于1）”的这种假分数，而总是认为假分数就是“分子大于分母（即分数值大于1）”的分数，所以经常出现错误。

事实上，真分数和假分数的概念是人们在认识自然的过程中逐渐形成的，而并非是生硬地“人为约定”的。最开始，当需要把一些物体平均分给几个人，而每人得到的数量小于1个时，就涉及到要平均分成若干份，每人取出其中的几份，这就出现了分数。比如一大块肉的３/5，就表示把这块肉平均分成5份，从中取出了3份。这时出现的分数都是分子小于分母的分数，而对于5/5、7/5之类的分数是不可能出现的，因为把物体平均分成5份，然后把这5份都取走，也就没有分的必要；而平均分成5份之后，更加不可能取走其中的7份，因此这些分数是毫无意义的，是不可能真实存在的，是虚假的。

所以当时的人们才把分物体的过程中自然形成的分子小于分母的分数称为“真分数”（所谓真正的分数），而把分子等于或大于分母的分数称为“假分数”（即虚假的、没有意义的分数）。当然，后来随着数学的发展，人们逐渐发现了假分数的实际应用价值，但是这个名称已经根深蒂固了，就一直延续至今。

现在我们能够知道，不管是真分数还是假分数，其实都是真正的分数，名称只能表明远古先人遇到这些数时的最初态度而已。一旦学生了解了分数发展的完整过程，就会对分数（尤其是假分数）有一个更深刻的认识，也就能够充分理解并接受分数的这种分类方法了。

（二）非零自然数分成1、素数与合数三大类

在学习了因数和倍数的知识之后，我们把非零自然数按照因数的个数进行分类，一般是分成1、素数和合数三大类。

我们先写出1～12各数的因数，并统计其因数的个数，然后让学生思考怎么进行分类，分成哪几类。多数学生会想到根据因数的个数来进行分类，比如只有一个因数的为第一类，只有两个因数的为第二类，只有三个因数的为第三类……这时我们会告诉学生，根据刚才的分类方法，需要把全体非零自然数分成非常多的类型（其实应该是无限多类），所以人们一般把因数个数多于两个的非零自然数全部合并成一大类，称为合数；而把因数只有两个的自然数作为一类，称为素数；最后，1作为单独的一类。这样，非零自然数就分成1、素数与合数三大类。

在这里，学生同样会产生疑问，为什么要把因数个数多于两个的那么多非零自然数全部合并成一类，而因数只有两个的自然数单独作为一类，这样的分类似乎有些不对等，有什么特殊用意？这个疑问会影响学生对素数和合数这两个概念的正确理解与运用。

事实上，“素数”这个名称表示不可分的数，它是组成其他整数的基础，类似于物质世界中的原子。任何一个合数都可以写成若干个比它本身小的整数相乘的形式，而素数却不能这样表示，而只能写成1和它自身相乘的形式。同时，用若干个同样大小的小正方形拼成长方形，如果小正方形的个数是合数，那么拼成的长方形的形状是不唯一的，存在至少两种不同的拼法；而当小正方形的个数是素数，那么拼成的长方形的形状是唯一的。其中的关键就在于，素数只有1和它本身两个因数，因此只能写成1与它本身相乘的形式；而合数除了1和它本身这两个因数以外，还有别的因数，因此因数的个数多于两个，这是它们的本质区别。所以区分素数和合数，其出发点并不是看因数有多少个，而关键是看除了1和它本身以外，有没有别的因数，能不能进行“分解”，这是分类的关键所在。

当学生知道了这一点，对于素数和合数分类的问题也就有了更深刻的认识。

类似于这样的问题还有很多，我们在遇到这些“约定俗成”的情形时，要尽量拓展相关的教学信息，展现数学知识的脉络联系，和学生一起探究“约定俗成”背后的人文、科学因素，探寻数学的文化渊源，帮助学生充分理解并接受数学知识的形成过程，这样定会演绎出课堂的别样精彩。

【责任编辑 王   悦】