数学大概念的内涵解析与单元大概念的提取策略

于勇

编者按

2022年4月，义务教育课程方案和课程标准发布，其中的热词、关键词之一便是大概念教学。大概念教学是一种教学方式的变革，体现了课程观的变化，意味着以核心素养为导向的课程与教学改革正在发生。那么，大概念教学是什么、为什么、怎么做？2022年第22期，就“大概念教学”我们组织策划了专题稿件。本期继续聚焦“大概念教学”话题，遴选单元大概念的提取、学科课堂的问诊与矫治实践样例。

［摘要］ 以大概念为组织逻辑的单元整体教学是有效培植、发展学生核心素养的重要抓手与基本路径。大概念视角下的数学单元整体教学重塑需要立足大概念提取、进阶式单元目标规划、抽象与具体融通互动的认知过程建构、评价系统设计等众多层面；理解大概念的内涵及大概念的提取是关键，也是难点所在；深度研读课程标准、寻迹核心任务、追溯认知本原、把握素养旨归、透析知能目标等是提取数学单元大概念的一般性策略。

［关键词］ 小学数学；大概念；内涵解析；提取策略；单元整体教学

核心素养导向的课堂转型强调“真实性”学习，指向培养学生解决真实问题的素养与能力，教会学生“像专家一样思考”。大概念是素养的内核和锚点，只有学生理解、建构起大概念，才能真正形成学科核心素养，拥有专家思维。当下，大概念已被运用于数学学科领域，用来优化学科知识结构达到课程的“少而精”，用来打破学科壁垒达到跨学科融合及学科与生活的联通。那么，数学大概念具有怎样的特征？如何提取数学单元大概念？解决这些问题对于大概念教学、建构数学大概念，进而形成数学核心素养等意义重大。

一、数学大概念的内涵解析

教育哲学及心理学有关概念结构与关系、类型与层次的研究是大概念在教育领域研究的滥觞。对大概念内涵的理解可以溯源至布鲁纳提出的“一般观念”、怀特海提出的“非惰性观念”、奥苏贝尔提出的用来统摄事实性知识的“上位概念”、布鲁姆提及的“基本概念”、菲尼克斯提及的“代表性概念”等。但这些观点多是点状或碎片化研究的成果，难免缺乏系统性、理论性、实践性论证，真正对大概念展开系统研究则起源于以格兰特·威金斯、杰伊·麦克泰格与温·哈伦等为代表的课程专家和科学研究领域里的专家。

（一）大概念的内涵

“大概念”具有丰富的生活价值与内在的可迁移价值，其本质是一种意义体结构、概念性工具，是能够用来统领整合单元零碎、散落的教学内容及由存在逻辑关系的学科知识联结而成的结构体系的“内核”观念。

1.“大”为何意。很多教师出于“大”字所具有的体积大、程度深、性质重要等表面字义，会把大概念理解为学科的基础概念或重要概念，即把大概念狭义理解为学科中的某一具体概念。威金斯和麦克泰格指出，大概念并非一个包含很多内容、庞大的概念，也不是一个基础概念。相反，大概念是指学科的核心。这里所说的“核心”是指大概念在知识体系或逻辑关系中居于上位，可以统摄其下位的概念性知识、事实性知识等，具有很强的迁移价值。在学科教学范畴内而言，大概念可以聚合、联通学科一定范围内的各种概念，在有效达成学科内知识互联互通及学生深度理解的基礎上，构建起包含具体与抽象互动的认知结构，进而促成学生的高通路迁移。比如，线段的长度、角的角度（弧度）、平面图形的周长和面积、立体图形的体积等内容，表面上看没有任何关联，实则它们都是在做“度量”这件事，以度量单位为基础对量展开研究，长度、角度、面积等实际上都是若干度量单位的累加。“以单位为建构基础，去进行量的度量”便是这些相对散乱、零碎内容的大概念，以此为基础设计学习活动，会对学生数学建模、形式推理、复杂交往等持续发生作用。

2.为何谓之“大”。因大概念以未来眼光广泛关注学生要面对的真实世界，具有厚重的生活价值，而谓之“大”。核心素养与当前极力倡导的深度学习两者的核心与精髓皆指向真实性，也就是能够将学校所学调用、迁移至现实世界中去解决真实问题的能力。反映专家网状思维的大概念，既打通学科内和学科间相互融通的学习，还构筑了一座由学校教育通往现实世界的坚固桥梁。另外，因大概念具有超强的逻辑内聚力、生长力，而谓之“大”。大概念作为复杂认知结构体系的核心，发挥着“概念魔术贴”的作用，能够不断地整合、吸纳、组织信息片段，并将之有机汇集至结构体系中。比如，整数和小数都是基于十进位值制计数法，对相同计数单位进行累加，对不同计数单位进行组合；分数则是通过“分”的过程构造出更小的单位，然后以之为标准去度量，看有几个这样的单位。从这一角度审视数的概念，整数、分数、小数便有了一致性，都可看作若干计数单位的累加，“认数”是以计数单位为基础对量展开研究，也可以归属至“度量”这一大概念统领的认知结构体系中。由此可见，“以单位为建构基础，去进行量的度量”这一大概念几乎可以涵盖小学“几何与图形”“数与代数”两大领域中大部分的知识与基本技能。此外，大概念也是学生认知维与技能维的生长点，他们结合大概念通过自主探究、合作交流等方式习得的内容会远远超出教师的预料，特别是用有着共同属性的具体实例呈现、表征大概念时，各种类型学生都能积极、主动地参与其中，他们的情感维得以长足发展。

3.“概念”指什么。“大概念”中“概念”一词的英文是“idea”，而不是“concept”。故此，崔允漷等学者将其译为大观念。狭义的“概念”的确是大概念常见呈现形式，但绝不是唯一的表现形式。威金斯和麦克泰格认为，大概念可以各种形式体现，如一个词汇、一个短语、一个句子或一个问题等。比如，“年、月、日”单元的教学，一方面让学生通过对白天与黑夜的往复交替、月亮圆缺更替、四季变换轮回的周期性理解与刻画，从中体会日、月（阴历）、年等时间单位是自然规律的真实反映；另一方面，引导学生了解朱理亚历、奥古斯都历等数学史料，向学生直接揭示公历“月”的时间乃人为规定，如此才有了大月与小月、平月与闰月之分。基于以上分析，可以把“‘年、月、日是自然性与人为性的统一”作为本单元的大概念，这是一个句子，其下位大概念“周期性轮回”则是一个短语。

（二）数学大概念的内涵

数学大概念是基于数学学科本质及对核心内容的意义构建，经过长程理解与概括而形成的统领性表达与结构化设计，是大概念理念在数学学科教育中的综合运用与实践落地，是学生发展数学具体与抽象的协同思维，以及对所学知识不断现实化的概念性工具和结构性聚合器。一般来说，数学大概念具有以下基本特征：

1.数学大概念是理解的锚点，有助于学生对数学本质的理解。理解就是要像专家那样思考，编制一幅地图或一个网络，在这幅地图或这个网络中，既有具体案例，也有抽象原理，由此形成包含具体与抽象融通、互动的复杂认知结构。大概念正是对专家思维的反映，能够促进学生基于理解建构起层次丰富、联结多样的认知结构，由此实现高通路迁移，达成学习创新。

2.数学大概念能够赋予学生参与探究的能力。大概念是各领域专家思考和感知问题的方式，它的意义与价值对于学习者来说是晦涩、内隐的，甚至有可能会产生誤解。特别是随着大概念的增“大”与不断“上位”，其生活性与情境性却随之变弱，变得更不易被理解。这已充分表明，大概念是需要不断揭示的，只有通过学习者的持续深入探究，才能充分把握这个核心。

3.数学大概念具有极大的迁移价值，支持数学与其他学科、学生生活发生关联。数学大概念将众多的数学事实、生活现象或实例，以及不同层级的概念聚合为知识量少而普适性极强的认识结构整体，学生理解了大概念，就意味着他们拥有了相应的解释力和迁移力。随着对大概念的理解揭示及层级构建，其将应用于跨学科课程、同一学科的后续课程或学校以外的其他情境中，从而实现广泛迁移。

二、数学单元大概念的一般性提取策略

大概念教学必须在单元中予以实施和落地。这里的“单元”不是指以专家结论为内在逻辑的内容单元，而是指以素养目标为逻辑组织起来的意义单元，是对大概念统领下的认知内容、有潜在意义的学习材料及学科资源的融合。为此，一些学者和教师形象地称其为“大单元”。当下，单元整体教学的难点和焦点是对学科核心素养的落实与素养目标的统整问题，正是大概念的出现才使得这一问题迎刃而解。可见，提取并确定数学单元大概念是单元整体教学设计与实施推进的关键所在。

（一）基于课标解读，探寻单元大概念

课程标准是国家课程的纲领性文件，是教师课程建构、组织教学、落实学科育人的行动指南，是对课程内容的高度凝练和概括，它面向全体学生提出了学习基本要求。结合《义务教育课程方案（2022年版）》，深度研读《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的“课程性质”“课程理念”发现，核心素养是学科育人的基本导向，可以从中解析出“设计体现结构化特征的课程内容”等跨学科大概念。“课程目标”是依据核心素养而细化的素养目标，可以从中提炼出学科大概念，如“模型观念”“数据意识”等。而结合数学教材与教师指导用书等资源，研读“课程内容”“学业质量”等板块内容，也可以从中提取出领域或单元的大概念，如“运算的一致性”“体会图形运动前后的变与不变”等。

（二）寻迹核心任务，概括单元大概念

基于大概念，从宏观和微观两个维度重构单元整体教学目标是单元整体教学设计与实施的重要环节， 其中宏观维度指向基于“生活价值”对单元整体教学目标做顶层设计，微观维度指向单元目标在单元组块、内容序列、核心任务等层面实施落实与达成的预设。大概念的理解与建构是建立在具体情境、核心问题或核心任务的基础上，经由抽象与具体联通、互动的路径将认知不断向上聚拢、融合的过程。换言之，指向问题解决、目标达成的核心任务也有可能就是单元大概念。

比如，苏教版“方程”单元共包括“用字母表示数”“简易方程”两部分内容，前者是后续认知的基础，需要将之融入“方程”单元做内联性思考，其教学主旨应是“引导学生用字母或代数式表示特定未知数”，为列方程解决问题“设未知数、表示未知量”夯实基础。“简易方程”中的“方程的意义、等式的性质、解方程”三块内容共同指向“寻求未知数”，“寻求未知数与已知数间的等量关系”则是列方程解决问题的关键环节。由此发现，“方程”单元的教学主要是围绕“表示未知数、寻求未知数、寻求未知数与已知数的相等关系”这三个核心任务而展开的。张奠宙先生为凸显“方程”思想的核心价值与认知本质，也对方程做了重新定义：“方程是为了寻求未知数，在未知数与已知数之间建立起来的等式关系。”因此，“基于未知数与已知数的相等关系，可以寻求未知数”的大概念，就像是清晰明确的航标，引领着教师和学生不偏不倚地围绕核心内容、关键问题开展相应的数学活动。

（三）追溯认知本原，厘清单元大概念

如前所述，由于大概念是专家思维的具体表现，专家思维无疑也是提取单元大概念的重要来源。数学知识的产生、内涵发展都有一定的时代背景或历史根源，大多跟人们的生产实践与认知需要密切相关，其间也包含了专家思维。因此，借助包含专家思维的数学史料、学术著作等资源去追溯数学知识的本原，同样可以从中发现单元大概念。

比如，“两、三位数除以一位数的笔算”单元就可以通过追溯本原的方法提取单元大概念。查阅数学史料发现，除法运算方法多种多样，最早可以溯源至古埃及的“加倍与取半”算法（如图1），在计算19÷8时，先是对除数8加倍或取半，同时对相应结果加倍或取半，直到加倍或取半后的数字之和等于被除数19，商则是加倍或取半数16、2、1对应结果之和，即19÷8=2+1/4+1/8。10世纪末期，热贝尔提出的算法（如图2）与现在

的除法竖式比较接近，计算时把8变成10-2的形式计算，但不是采用最大数试商，而是取便于计算的数作商。后经过进一步改进，除法竖式计算还出现过如图3所示的情形，这种算法过程更加直观、自然，易于理解。

基于上述古代笔算除法方法间的异同比较，可以在更为一般的层面上提取出“两、三位数除以一位数的笔算”的单元大概念，即“计算时，先把被除数分解成几个合适的数，然后分别去除，最后把每次除得的商合并起来”。这与当下所倡导的“运算的一致性”极其契合。

（四）把握素养旨归，提取单元大概念

数学核心素养是单元课程目标的集中体现，是学生通过学科学习而形成的具有数学基本特征的必备品格、关键能力及正确价值观念，其精髓在于真实性，即学生在具体的现实生活情境中主动调动相关知识与技能，创造性地解决问题的能力。数学大概念作为核心素养的内核和锚点，它指向教学核心内容、关键问题与统领性任务，能够反映学科本质、关联数学基本思想与方法。

比如，“面积”单元共包括长方形和正方形的面积、多边形的面积、圆的面积三部分内容，教师可以在正确分析与把握这些教学内容所蕴含的学科素养、思想与方法基础上，从中梳理、提取出相应的数学大概念。长方形与正方形面积的计算方法主要是通過单位面积度量法获得的，是一种量感的体现；平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是通过割补法和倍拼法推导出来的；圆的面积计算公式则是通过拼凑法推导出来的。无论是割补法、倍拼法，还是拼凑法，都充分体现了“转化”这一基本数学思想（如下表）。因此，“面积”单元的教学除了注重引导学生掌握平行四边形等图形并能正确计算其面积等知识、技能外，更应该聚焦学生数学核心素养的培育与发展，在面积计算公式推导的过程中渗透数学转化思想，由此发展学生直观想象、空间观念、图形推理等数学核心素养。基于这一角度，就可以选择“化归思想”作为“面积”单元的大概念。当学生理解、建构起这一大概念后，他们也就基本拥有了自主建构和解决真实问题的能力，能够调动相应的知识与技能，去解决现实生活中有关图形特别是不规则图形的面积计算问题，从而达到举一反三的学习效果。

（五）透析知能目标，提炼单元大概念

固态的知识与技能、液态的过程与方法，以及气态的情感、态度与价值观的“三维”目标，为素养目标提供了“座驾”。正是由于大概念对三维目标实施的建构与指向真实性的整合，才形成了素养目标的完整结构。若将素养目标比作一架飞机，情感维引领着素养发展的方向，认知维与技能维是两翼，而大概念是机体，将三个维度整合在一起，才能够真正成为一种素养。可见，知识与技能是以大概念为内核，并将素养目标有机组成的，通过对数学单元各部分内容知能目标的分析、概括与抽象，也不失为提炼数学单元大概念的好办法。

比如，“整数乘法”单元就可以基于对各年级不同整数乘法内容知能目标的分析与聚焦，提炼出单元大概念。表内乘法主要是要求学生准确编制、熟练记忆乘法口诀，熟悉口算表内乘法，提高口算技能，了解口诀之间的联系；两、三位数乘一位数、两位数乘两位数和三位数乘两位数的笔算主要是要求学生在探究、讨论的基础上，理解笔算算理及多位数乘法的基本结构，掌握笔算方法，并能进行正确计算。由上述分析可知，“在理解笔算算理、掌握笔算方法的基础上，能正确进行整数乘法计算”是贯穿“整数乘法”单元的知能目标，可以将其上升为“整数乘法是利用拆分与合并，转换成表内乘法进行计算，并以十进位值制为依据用竖式记录计算过程”的大概念。为使“三位数乘两位数”笔算教学能够实现对算理与算法的最大化迁移，“两位数乘两位数”笔算应侧重于算理与算法的探究，引导学生经历格子乘法、面积模型等多种将其转化为表内乘法的学习活动，在数形结合、结构关联中深化对“拆分与合并可助益算理和算法的理解”这一理念的表征。这正是对“整数乘法”单元大概念合理性、普适性的教学实践论证。

总之，在厘清大概念基本内涵的基础上，提取数学单元大概念是组织落实单元整体教学的关键一环。但数学单元大概念的提取路径并不仅限于此，我们将继续探索与优化提取策略，深化大概念教学研究。

［参考文献］

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