一道四川预赛试题的解法赏析

北京师范大学贵阳附属中学 (430079) 李嘉铃

1.预赛试题

题目(2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题)若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+3c2=7,则△ABC面积的最大值为.

这是一道只有一个条件的求三角函数面积的最值问题,注意到已知等式中a,b,c均带平方,且a与b是对称的,所以在选择面积的表示方法时就要充分考虑到这些因素,为下一步求最大值做好铺垫.

2.多解探究

记△ABC面积的最大值为S.

解法2：(利用海伦—秦九韶公式,再转为二次函数处理)

3.题后反思

这五种解法都包含两个主要方面:面积的表示方法和求最大值的方法.

(1)面积的表示方法.因为三角形的面积公式比较多,而且用同一个公式也有不同的切入点,这就导致了这类题的解法多样,这五种方法就是这样产生的.不同的表示方法也基本决定了后面解题过程的走向和难易程度,所以选一个好的表示方法很重要.

(2)求最大值的方法.这五种方法求最大值的过程看起来都不一样,但基本方法其实有共同之处:都对式子进行放缩,直到得出定值,最后确定等号成立的条件;放缩的方法主要是基本不等式和一些常见结论.所以,解这类题至关重要的是放缩对象的选择和基本不等式的选用,而基本不等式的选用又取决于放缩对象的特点和题中的条件.那么,只要掌握了选择放缩对象的方法,基本就等于掌握了解这类题的钥匙.因为成功的放缩必须保证等号能成立,而基本不等式一般有两大特点:式子具有对称性,等号成立的条件多数是变量相等.注意到条件a2+b2+3c2=7中a和b是对称的,所以,五种解法都把由a和b组成的对称式作为放缩的对象,这样能保证等号成立.

从以上分析可知,选择一种好的表示方法和(在有对称变量的情况下)构造出对称式作为放缩对象就是解这类问题的钥匙.