以理驱法，基于小数除法体会运算一致性

甘肃武威市凉州区西苑实验小学（733000） 侯玉莲

所谓运算一致性，就是算理和算法相互贯通。从本质上说，运算一致性不是指向知识，而是指向方法与思想；不是碎片化，而是对数学知识体系的整体构建与结构化合拢。就小学除法而言，学生可能会误认为整数、小数、分数除法的算理和算法不一样。实际上，通过整体梳理可以找出三者之间的联系点与一致性，做到前后勾连、环环相扣、整体理解。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》明确指出运算教学应体现数学的整体性与一致性。过去，“数的认识”与“数的运算”是两个主题，现在已经整合为“数与运算”一个主题。这样的调整为我们提供了新的课改风向标。教师应该认识到并正视运算一致性的重要性，秉持一种“用一根线串起珠子”的教学观与方法观，以结构重建的方式进行关联性开发，将零散的知识内容串起来，这样才能为学生学习力的提升提供建设性思路。

一、梳理教材寻找支点

当下的数学教学中，“唯教材是从”的现象仍然存在。基于教材推进教学的优势是能够抓住重难点完成教学任务。但弊端也是显而易见的，即缺乏整体，知识与知识、单元与单元之间不能关联在一起。教师不一定要“唯教材是从”。由此，基于学理与算理层面梳理教材、寻找支点成为关键。这里的“支点”，在作用上指向“桥梁”作用，能够贯通前后知识点；在方法上指向举一反三，做到由零散呈现过渡到本质勾连。

人教版教材的“小数除法”单元安排了五道例题，兼顾了小数除法的不同类型。其中“除数是整数的小数除法”比较简单，只需注意小数点的位置；“一个数除以小数”注重商不变的性质；“商的近似数”注重“四舍五入”；“循环小数”注重循环节；“用计算器探索规律与解决问题”重在实践、应用与印证。尽管这样的编排分类细致，由易到难，但给学生留下了“难度很大”的印象。教师不妨整体把握，将单元分为两个课时：“除数是整数的小数除法”和“除数是小数的小数除法”。这两个课时相互融合（前者是后者的基础及应用，后者可以看作是前者的变式），算理相同（将计数单位不断细分），完全可以通过转化思想展现运算的一致性，达到构建“知识树”的目的。厘清小数除法的算理是贯通整数除法和小数除法的支点。教师应该基于单元教学框架，从整体上对教学内容进行优化重组（如图1）。

图1

将五道例题的教学分为两个关键课时，一方面在于整体建构知识，另一方面在于解决问题。从整数除法到小数除法，再到后期的分数除法，有超越单个范畴、可综合运用的大概念，可以通过总体的算理贯穿各自的算法，不是简单意义上的增减，而是知识结构上的简化。其中，感悟小数除法与整数除法的一致性不可或缺。

二、分析学情找准切入点

1.化繁为简，算式导入

对教材的结构性整合，首先从知识的导入开始。在“小数除法”中，人教版教材编排了跑步的情境为导入环节，但缺乏支撑性的算理情境——千米和米之间的单位换算情境。笔者经过思考，决定先设计两道前测题，对学生的小数除法计算能力进行测试并分析。

前测1：小吴用22.4 元买了4 支笔，每支笔的价格是多少？请写出计算过程并说出理由。

前测2：22.4÷4=（ ），将商填在括号中并说出理由。

经过统计与分析，笔者发现平均正确率超过了97%，这意味着绝大多数学生计算“22.4÷4”已不存在问题，通过情境提供思考的框架其实意义不大。笔者进一步调研发现，借助“元、角、分”进行单位转化的学生少之又少。这说明学生已经有了由抽象到形象的运算能力，情境的作用较弱。因此，通过生硬的情境引入新知识的方式应该舍弃，直接从运算的一致性导入新课反而是有效的方式。

2.分析起点，构想策略

为透彻了解学生的学习起点，了解学生的前知识结构，考查学生对除法算理的掌握情况，知晓学生遇到的困难，笔者以算式“16÷5”为切入点进行测试。通过学生的解题过程，分析学生对除法知识的掌握情况，具体内容见表1。

表1 对学生的解题情况的分析

尽管这次测试的正确率为77.8%，但一部分学生是口算或凭借数感得到正确答案的，并未真正理解运算的一致性，未从整体思想出发进行知识迁移与内化。鉴于此，教师应舍弃算法多样化，重组教学材料，重构教学框架，注重算法、算理的一致性，铺设一条前后衔接的整体教学之路，实现教学效益的最大化。

三、教学实践过程

1.口算引入，引发认知冲突

既然有一部分学生不理解算理，那么针对“16÷5”的商究竟是用带有余数的形式表示，还是用小数表示？教师应从整数除法入手，逐步过渡到小数除法，进行知识脉络的续接。由此，整数、小数的相关知识勾连在一起，为教学运算一致性埋下伏笔。

比如，口算“16÷5”“9÷4”，学生很容易地得出结论为16÷5=3……1，9÷4=2……1。针对余数，教师不妨质疑：“有余数的除法是旧知识，有别的答案吗？个别同学的答案中有小数，是否正确？”这些计算题看似简单，实则是整数除法到小数除法的过渡。其中，对余数的质疑比较关键，能促使学生产生究竟要不要继续细分“1”的念头。这样的思考指向溯源性思考，使得新旧知识之间有了联系，便于学生建立新的认知结构，这正是运算一致性的体现。

2.多元表征，体会算理原理

细致分析学生在计算“16÷5”时出错的原因，是因为不知道怎么处理余数“1”，即学生缺乏对运算一致性的整体把握与理解。教师不妨引领学生认真观察竖式特征，通过多元表征，完成前后知识的勾连。

让学生先呈现用竖式计算的过程，再把想法画出来。

图2是一个学生写的计算过程。

图2

教师提出问题：“你为什么这么写呢？”这个学生因为已经理解了其中的算理，所以脱口而出：“我把余下的1看成了10个0.1。”教师在肯定的同时进一步追问：“那么，2 呢？”这个学生稍作思考后说出过程及理由：“既然10 个0.1 除以5 的结果是2 个0.1，那么3后面点上小数点就是必然的，而2写在十分位上也是必然的，因为这里表示的是2个0.1。”

上述过程彰显着新旧知识的联结，彰显着运算一致性的贯通，引发了学生的层层思考，调动了学生的已有经验，进行多元表征。从表面上看，是一位数变成两位数，实际上，计数单位更小，这正是小数的意义。这种不断细分的过程，无疑是计算整数、小数乃至分数除法时都要经历的过程。

3.迁移推理，感受运算本质

在小数除法算理教学中，教师不能只关注把几个一转化成几十个十分之一，还要秉持举一反三与迁移推理的原则，引领学生不断细分，从一次到多次，贯通所有的小数除法算理，真正达到“一通百通”的效果。

例如，在计算“9÷4”时，学生的竖式中出现了1与2，教师不失时机地追问这两个数表示的意义，学生通过讨论意识到，既然1 这个计数单位不够分了，那么就必须继续细分，从而产生一个新的计数单位——0.1。照此推理，余几个0.01，可以继续添0，变成几个0.001，不断细分，直到解决问题为止。这不就是整数除法的规律吗？由此，学生发现了两者之间的联通点。

从直观形象的小数除法竖式入手，学生不难理解细分的意义和作用，当然也认识到“数的意义”与“数的运算”之间的关联，前者为后者的基础，后者是对前者的再应用与佐证。同时，学生也理解数的表示与运算方法的一致性，整数除法与小数除法在算理上的一致性。这样的迁移推理不应小觑，应视作运算教学中的一个重点而大力应用。

4.对比梳理，凸显算理一致

从上述计算中，学生已经理解：无论是整数除法还是小数除法，“被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变”的原理是通用的。那么，学生在计算时完全可以将新知转化为旧知。当然，前提是让学生理解转化的原理。学生一旦理解了算理，确定小数点的位置就变得容易了。笔者的做法是通过两次对比进行梳理。

第一次对比，让学生计算并观察“1.6÷0.5”和“16÷5”的商，学生想：两个算式的商是一样的，是因为整数除法中商不变的性质在小数除法中也是适用的。

第二次对比，展示学生完成的几组除法竖式（包括错解，如图3），通过对比、归纳、汇报、交流，体会运算一致性。

图3

从对比中，学生发现把“9÷0.4”看成“90÷4”，实际上就是利用了商不变的性质。而“商不变”的关键在于除数与被除数必须要同时变化，如果只有其中一个数变化，就会出现错位，过渡到小数，就会出现小数点位置点错的问题。可见，理解了整数除法的意义、算法、算理，转化思想的渗透就自然而然达成了，循着转化这一路径，明算理，清算法，学生辨析错解变得容易，得出正确答案也变得容易。

以上环节用算理贯穿始终，在变中找不变，在“运算一致性”中“多走了几个来回”，使学生形成科学严谨的思维，增强推理意识。可见，整合小数除法单元，梳理知识脉络，归纳知识体系，总结运算一致性，对学生学习数学很有好处。教师应该进行系统化建构，将单薄断层变为丰厚连续，为培养学生的数学素养提供支撑力，同时应通过整体的起承转合，引导学生学以致用，发现数学运算的本质与一致性。