研史究本·重构推进：数学史重构式学习路径的研究——以“百分数的意义”一课为例

浙江杭州市临平区星桥第一小学（311100） 付荣玲

浙江杭州市临平区育才实验映荷小学（311100） 李庆海

一、问题的提出

数学史与数学教育的关系，最明显的呈现就是数学教材介绍了一些我国古代的数学成就，意在激发学生的民族自信以及对数学学习的兴趣。诸多专家学者的研究成果证明数学史对数学教学有积极作用，引发了部分教师探索运用数学史的教学方式。比如，有的教师在课堂上用图片或数学故事激发学生兴趣。这种“附加式”的数学史进课堂，没有把数学的历史顺序、知识的逻辑顺序、学生的认知顺序有机地整合在一起，没有充分发挥数学史的作用。

布鲁纳认为，以理解为目的，儿童应该向学科专家一样去学习。现在的学生对某些数学概念的认识与古代数学家的认识相似，在认识某些概念的过程中遇到的问题也与历史上数学家探究时遇到的问题一致。因此，在数学教学中深入研究某些概念的数学史，依目标重构数学史，再现数学家式的研究，可以让学生更好地学习数学、认识数学知识的本质。

二、数学史重构式学习的概念及路径

数学史重构式学习是指依据数学知识的发展历史，重构数学知识的发生、发展过程，设计相应的探究任务，使学生经历数学知识的发展过程，体验古人的思考过程，从而感受数学的魅力。

数学史重构式学习路径如下。

1.挖掘内容主题背后的数学史

数学史重构式学习最难的是找到知识背后的数学史，挖掘内容主题背后的数学文化，找到与所学内容相关的数学知识发展脉络、数学家的探索精神。

2.将数学史的价值融入教学目标

将数学史引入课堂，对教学内容进行重构，要对数学史的教育价值进行合理定位。教师要了解数学史，明确教学目标，设定的教学目标要体现数学核心素养的关键能力。

3.依据学习目标设计学习任务

数学史重构式学习需要将数学史的核心要素进行分析，依据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》的评价目标，结合学习内容，设计核心学习任务，引导学生深度学习，参与数学史的探究活动，开启数学家式的发现之旅。

4.实施深度教学，开展学习评价

数学史重构式学习，重构内容，渗透数学史，教师对学生的学习评价也要相应重构。学生走进传统数学文化，了解数学史，尝试用古人的方式解决问题，古今对照，感受数学史的魅力，从而体会所学内容的价值，更好地学习数学。

三、数学史重构式学习的探索

下面以“百分数的意义”一课为例，说明如何研究数学史，并将其融入教学内容，进行重构式教学，让学生在了解数学知识发展历史的同时进行深度学习。

1.研史究本，发掘百分数背后的数学史

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》将百分数的内容从“数与代数”板块移到了“统计与概率”板块。这一转移，体现了百分数的发展是动态的，事实上，它表示的意义也是不断变化的。

（1）百分数源于商业的需要

据《算术珍本》记载，公元前300 年的古印度商人以100 为基础进行放贷，古罗马商人用百分数来表示相对于100 的盈利与亏损。可见，当时的百分数只是作为参照数据。

（2）百分数成为一般概念

我国古代，人们进行粮食交易时用到了比例。如《九章算术》第二章《粟米》（原题略），这道题的解法“50∶30=10∶x”流传到欧洲。文艺复兴时期，有数学家发现，如果将“粟米与粝米”的比改为100∶60更好计算，因此产生了百分比。

（3）百分数被广泛应用于统计领域

19 世纪初，为了方便对比，有着基准功能的百分数再次被数学家应用——用百分数表示部分与整体的关系，还出现了比“1”大的百分数（与分率、倍比相似）。百分数的统计功能被广泛应用于商业。进入现代，百分数与大数据、决策紧密联系，引发数学家对百分数在统计领域表示随机性的价值产生新的思考。或许是基于这个原因，百分数的内容由“数与代数”板块移到了“统计与概率”板块。

教学中如何让学生从数学史的角度来学习百分数呢？如果能重构学习内容，让学生与百分数产生“同频共振”，则能让学生了解百分数的产生，感受到百分数的重要意义，体会到百分数产生的必然性及其独特的价值。

2.三序融合，百分数历史融入学习活动目标

美国数学家乔治·波利亚认为，只有看到数学的产生、按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学活动发现时，才能最好地理解数学。将数学史融入百分数的概念教学时，要将知识的历史顺序、知识间的逻辑顺序、学生的认知顺序融入“百分数的意义”这一主题教学。

（1）教材扫描：确定教学重点

小学阶段，“百分数的意义”教学是在学生学习了“倍”“分数”“比”后进行的，分为“初步认识百分数”和“百分率（用百分数表示率）”两个阶段。

比较北师大版教材和人教版教材中的“百分数”单元（如图1、图2），发现：北师大版教材编排了“比较谁的命中率高”这一具体生活情境，学生在解决问题中发现，将多个异分母分数进行通分后再比大小较麻烦，由此想到把分数化为分母为100 后再比大小；人教版教材则是出示多个生活中的例子，让学生基于已学过的分数的意义进行迁移、类比，理解百分数的含义，感受百分数的意义。两个版本的教材都比较注重百分数的统计意义，其中，北师大版教材中的情境体现了《义务教育数学课程标准（2022年版）》提倡的百分数“随机性”的统计意义。

图1 北师大版教材的相关内容

图2 人教版教材的相关内容

（2）学情扫描：找准学习起点

为了解学生的学习起点，笔者结合百分数的数学史，设计了5 道与百分数知识相关的前测题（如图3），让90名学生完成。

图3 前测题

前测结束后，笔者对学生的完成情况进行分析。

问题1，大部分学生在生活中见过百分数，并能举出正确的例子。

问题2，100%的学生能读写百分数，83.3%的学生能说出百分数表示的意思，这说明他们对百分数与分数的关系掌握得较好。

问题3，表示方法有三种：格子图、线段图、文字说明。学生画格子图时，均是用涂了100 格中的80 格来表示80%；小部分学生用线段图表示80%；文字举例的情况与问题1的相似。

问题4，83.3%的学生不能联想到比1大的百分数，这说明“比1 大的百分数”的意义对学生来说有一定的难度。

问题5，学生的回答各不相同，体现了学生对新概念的好奇，好奇心为学生探索新的概念打开了一扇窗。

通过前测可以知道，学生对于百分数的读写有一些经验，教学时要突出百分数的关系的表达，特别是大于1 的百分数的意义，同时还要按照《义务教育数学课程标准（2022 年版）》的要求设计一些表示随机关系的情境。

（3）教法扫描：理顺教学脉络

笔者在维普期刊网查阅了关于百分数教学课例的文章共26 篇，文章中的教学案例多是设计以下四个环节。

环节一：联系生活实际，寻找生活中的百分数。

环节二：迁移分数经验，解释生活中的百分数。

环节三：辨析概念意义，沟通百分数与分数的关联。

环节四：应用新学概念，内化百分数的意义（例子里有统计素材，体现百分数的统计意义）。

26 篇文章中的教学案例以百分数的传统意义为主，即百分数表示一个数是另一个数的百分之几。

结合上述分析，笔者将数学史融入百分数的重构式学习目标确定为：

目标1：能在数学史的情境中经历百分数的演变过程，认识并会读写百分数，体会百分数产生的必要性；

目标2：了解百分数与日常生活的密切联系，在整理、分析数据并做出判断的过程中，初步感悟数据的随机性，逐步形成数据意识，在应用中理解百分数的统计意义；

目标3：了解不同时代的人对百分数的发展做出的贡献，读懂百分数的数学史，感受数学的魅力。

3.单元统整，重构数学史学习路径

丹麦学者Jank vist 将数学史的教育价值分为两类——工具和目标，前者把数学史当作数学学习的认知工具，后者把数学史看成数学的一部分。教学时，可将单元作为基本单位，融入数学史，进行单元整合重构设计，发挥数学史的工具和目标的价值。

（1）梳理所教内容的主题历史

目前教材缺乏配套的数学史料，需要教师自己梳理。梳理有两个角度：一是以时间为序梳理专题知识脉络，比如，百分数经历了商业活动中以100为基础的标准、作为数量比较的百分比、作为统计量的不同阶段；二是展现知识的发生、发展过程，比如，百分数与分数一脉相承，因其便于比较而在生活中应用很广。教师要梳理出所教内容的历史，帮助学生理解百分数的本质、发展过程等。

（2）整理知识发展的要素

数学史融入小学数学教学的目的不是还原数学史，而是发挥学习主题的价值。可先从历史上数学家遇到的困难、处理困难和解决困难的历程出发，再从数学知识和认知障碍两个方面着手，找出关于百分数的要素。比如，在“百分数的意义”这一主题里，至少有下面几个要素：一是100 作为基础的比较标准；二是百分数的产生及百分号的由来；三是百分数表示两个量之间的关系；四是百分数表示确定数量与不确定数量之间的关系。

（3）从单元视角设计学习活动

单元整体设计是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》提出的要求，也是数学史融入数学教学的应然选择。首先要制作教材单元知识地图，根据课标目标、评价目标将单元知识进行整合，依据单元内容设计相应的学习任务。人教版教材的“百分数”单元设计了“百分数的认识”“百分率”“问题解决”等课时，目标是“结合具体情境，理解百分数的意义；进行小数、分数和百分数的转化；解决简单的实际问题”。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》则在此基础上提出“感受百分数的统计意义”“形成数据意识”。因此，从单元视角明确教学目标，将该单元设计为数学史视角下的百分数、生活中的百分率（合格率、成活率等）、用百分数解决问题等，让学生理解百分数的统计意义。

“百分数的意义”这节课融入了数学史，可设计下面几个学习任务。

①重构历史，将100 作为比较标准：古巴比伦的一个商人需要借一笔钱，在哪一家公司借钱更划算？（把本金都换算成100，方便比较）

②再现历史，了解百分号的产生历程和百分号的演化过程（如图4）。

图4 百分号的演化

③链接经验，多元表征百分数的本质意义。请学生画图表示80%后再分析比较，在比较两个量之间的关系中理解百分数大于1的情况。

④应用概念，感悟百分数在做判断、做决策时的价值。基于“网店的好评率”，让学生选择在哪一家网店购物，从而感悟百分数的独特价值。

上述几个环节在操作时是非线性的，如果发现偏差则需要修改和调整，以达到预设目标。教学设计及实施流程如图5所示。

图5 单元视角下数学史重构的学习设计流程图

4.设计量表，科学开展数学史融入教学的评价

数学史与数学教学理论指导下的课堂教学，需要重点关注学生的学习情况。

（1）立体研读课标，明确评价标准

教师首先要阅读《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中与百分数相关的“学习内容、学业要求、教学提示”三个部分及案例，理解目标要求，明确评价标准。“百分数的认识”这节课的学习目标与学业表现见表1。

表1 “百分数的认识”学习目标与学业表现

（2）拟定评估量表，规范教学评价

依据学习目标与学业表现，“百分数的认识”这节课的学习结果表现为知道百分数是两个数的关系，了解百分数对随机数据的刻画与表达，初步应用百分数做判断与预测。对此，教师可利用评估内容（如图6）和评估标准（见表2），对学生的学习效果进行评价，以此了解学生对知识的掌握情况。

表2 评估标准

图6 评估内容

目前，《义务教育数学课程标准（2022 年版）》高度关注“数学文化”，已经引发了很多教师对数学史融入教学的研究。“百分数的认识”这一课例告诉我们，小学数学教学中运用数学史重构教学应遵循数学知识的发展，充分挖掘数学史背后的价值，融合知识顺序、历史顺序、学习顺序，将数学知识的发生、发展融入学习目标，按照单元视角进行统整，设计重构数学史的学习路径，依据“教学评一体化”的要求制订评价标准，从而真正发挥数学史的作用，让学生感受数学的魅力，提高学生的数学素养，促进学生数学思维的发展。