高中数学变式教学应用析谈

摘 要：变式教学对课堂教学和学生数学思维的培养具有重要意义。圆锥曲线是高中数学教学中的一个重要环节，也是一个难度很大的问题。以往的研究结果显示，变式教学能有效地改善圆锥曲线教学的效果。文章以部编版高中数学A版选择性必修第一册第三章“圆锥曲线的方程”为切入点，研究了高中数学应用变式教学的现状，在此基础上，探究变式教学在高中数学教学中的应用策略，以期为一线数学教师运用变式教学找到方法、增强教师的教学能力、激发学生的积极性。

关键词：高中数学；变式教学；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8918（2023）31-0076-05

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：“数学教学要体现素质教育的要求，努力培养学生的创新精神和实践能力，促进学生生动、活泼、主动地发展。”数学教学不仅仅是简单的知识传授，更是一种能力的培养过程，所以在高中数学教学中要贯彻“以人为本”的理念。变式教学就是根据不同题目类型、不同层次等灵活运用不同方法解答，从而达到解题技能和思维能力提高的方法。在高中数学课堂中进行变式教学可以提高学生分析及解决问题的能力。

一、 关于变式教学

（一）变式教学的内涵

顾明远认为，变式教学就是在教学过程中，用各种直观的材料来描述事物的本质属性，或者把事物的非本质特性进行转换，让学生明白什么是“本质”，什么是“非”，这样才能构成一个科学的概念。变式教学是指教师依据学生已有的知识经验，以不同的形式对同一个问题进行不同程度、不同方法的讲解，使学生掌握不同类型的知识方法。变式教学具有以下两个特征：一是变式性；二是有针对性。变式教学符合素质教育对培养创新人才的要求，有利于发展学生思维能力，提高解决实际问题的能力。变式教学实质上就是将课程内容进行多层次、多角度、多方位、多方法的变化和调整，在满足学生掌握知识和技能需要的同时，全面提升学生创新精神和实践能力。文章将变式教学定义为：在教学中，通过“变式”，有意识地改变教材的基本性质，使学生了解到它的变化和不变，从而全面了解事物的性质。

（二）理论基础

1. 有意义学习理论

奥苏贝尔把学习分成有意义的和机械的两种。通过有意义的学习，把未知和已知的知识连接起来，这种关系是在自然条件下发生的，而非外部力量的强迫。根据这一原理，教师在进行“变式”教学时，从不同的角度、层次、层面，从浅到深、由特定到泛化，在同一问题的基本特点不变的前提下，突出教学目标的主要特点，让学生了解新知识的生成、拓展、知识的内在关联，从而使他们在面对同样的问题时不再惊慌失措。

2. 建构主义理论

建构主义主张以学习者为核心，让学生在建构知识的过程中，给予他们自由发挥和建构的空间，使他们逐渐从原有的知识中获取新的知识，從而实现自主学习。在此过程中，学生要主动地发现、分析资料，不断调整所获得的信息，并探讨怎样把不熟悉的东西与已经知道的东西建立联系。因此，在教学过程中，教师要激发学生的求知欲，为他们提供从旧知识到新知识的策略，让他们有时间和空间来进行交流，并引导他们积极地学习和反思。在建构主义的指导下，变式教学还应让学生积极地探究事物的本质，在变化的过程中把握不变的本质，积极地建构所需的知识。

3. 变异理论

20世纪90年代，瑞典著名的教育家马顿对他早年提出的“现象分析”的研究结果进行了深刻的反思，并创立了“变异”理论。他认为，一切都是从不同而来，没有不同，就没有意义。变化论认为，要了解一个物体，必须在其他属性相同的情况下，才能注意到一个物体的特性。通过这种方式，我们可以辨别这种改变的性质，也就是说，我们只能够辨认出改变的性质。而学习是指学习者在学习过程中，自觉地认识到学习的本质特征。学习的结果取决于学习者对学习内容的认识。有效的学习方式就是可以区别并注意到事物的主要特点，而区别于其他因素的对比则可以使我们区别开来。在变化论的指导下，变型教学是教师不断地改变问题的非本质性质，以激发学生对问题的主要特点，并运用变化量的方法，使学生对所学的事物的性质有清晰的认识，从而达到对学习的理解。

二、 变式教学应用存在的问题

（一）教师对变式教学的应用不充分

由于目前有的高中数学教师在教学过程中缺乏对变式教学的深入研究，所以，在实践中，未能根据学生的学习状况来进行合理的教学，未能充分调动学生的学习热情；另外，教师对变式教学的应用也不够深入到位，很多时候只是简单地将一些类型题目进行排列组合，然后让学生进行模仿练习和解题训练，而对具体的解题方法和技巧并没有深入分析探讨。在数学教学中，教师对概念变式和过程变式的认识不够透彻，没有充分发挥其价值。通过对学生的课堂观察和访谈，我们可以看到，教师在教学过程中的变式对象比较单一，更多的是以练习形式为主。在新课的引入和作业的安排上也很少见。

（二）数学教师对变式教学应用程度不一致

教师是课堂教学的主导者，在课堂教学中需要充分发挥自身作用。因此，不同数学教师应采用不同的教学方法，来提升学生对知识的理解和应用水平。当前在高中数学课堂教学中，有的教师缺乏对变式教学的重视，只是在高考复习过程中才会采用变式教学方法来提升学生成绩。通过调查分析，发现各班的学生对变式教学的评估维度有显著差异，表明不同的教师在运用变式教学中的“圆锥曲线”的使用情况也不尽相同。通过访谈可以看出，变式教学在教师中的运用是有差别的，这就导致了变式教学在学生中运用的差异。

（三）变式教学影响部分学生学习效果

由于高中阶段的学生心理还未成熟，对高中圆锥曲线解题时容易受自己的思维定式影响，没有打破常规进行思考。尤其是在选择题或者填空题上，他们总是局限于题干上给出的条件中寻找解题思路，从而忽略了题目条件或者形式变化所隐含的潜在考点。在解题过程中只注意对知识技能方面的考查，缺乏对思维方式和分析、解决问题能力的考核，致使一些学生在进行变式教学时，效果不佳。

三、 高中数学中变式教学应用策略

圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，也是学生学习中的难点和重点。通过变式教学，可以有效突破学生在学习中出现的困难和障碍，实现高效教学。将变式教学和圆锥曲线相结合，能在不断变化的环境中发掘知识的真谛，并创造出实务操作与探究的环境，使学生在掌握圆锥曲线的基础上，更好地建构圆锥曲线的知识体系，促进学生的思维发展。教师可以将例题中的结论、方法、思想等转化为变式问题，引导学生在思维拓展过程中去解决更多的实际问题。同时，教师也可以运用变式教学法，提高学生对问题的综合分析与解题能力，使其达到事半功倍的效果。

（一）学习变式理论，加强变式教学

在圆锥曲线教学过程中，教师运用变式教学达到了部分教学目的，但在进行问题探究时，发现教师运用变式教学的方法不够全面，缺少系统性，而且教师对变式教学的理解和运用的程度也不尽相同。教师对“变式”的认识或掌握不足，教师之间也缺少集体沟通。所以，在课堂上，教师应该对变式教学进行深入的研究，了解变式教学，以及为什么要变式，变式的功能和变式的基本操作，不是一味地变式，而是要探究变式教学的有效性。只有对变式教学的相关理论和应用知识有一个清楚而深入的理解，才能找到正确的方向和目标。在对圆锥曲线教学时，教师要善于根据教学内容、目标和学生的实际情况，来确定其具体的变式要求，并根据学生的认知规律来开展相应的变式教学。在基础知识学习阶段，教师要指导学生在做好课堂笔记的基础上，对相关知识点进行归类整理。之后教师可选择一些典型例题和习题来组织学生进行变式练习，以加深学生对知识的理解。在这个阶段，教师要指导学生做好课堂笔记，并记录其解题思路和步骤。之后对其解题过程进行反思梳理、归纳总结。最后再根据课标和相关要求进行阶段性测试，并对其所涉及的知识点进行重新梳理巩固，加深对知识的掌握。

1. 精读变式资料，把握变式发展轨迹

在实践中，教师对变式教学的认识水平有不同程度的影响。教师只有先对变式教学有深刻的了解，才能将其“顺手”地运用于教学，并在实践中不断修改、补充和完善。结合圆锥曲线主题的每个教学目的，找出哪些课程需要变式教学，哪些课程应该采用变式教学，以降低使用的随机性，使变式教学真正成为教学的助力。变式教学也在逐渐发展，教师要不断丰富自己的知识储备，更新自己的理念，积极发掘变式教学的教育价值，寻找变式教学与圆锥曲线的契合之处，完善变式教学中的“漏”，充实自己的变式教学的知识库，提高教学质量。

2. 提高集体备课时间，分享变式教学经验

圆锥曲线是中学数学的一个重要组成部分，它对学生的思想要求很高，而且不同老师有不同的观点和经验，相对老师单独研究圆锥曲线的变式教学，集体备课则是将老师的经验综合在一起，形成1加1大于2的模式。特别是新入职的老师，更是需要这样的机遇，以提升他们对“变式”的理解。在集体备课的平台上，老师们可以自由地交换自己的想法，分享圆锥曲线变式教学的成功经验，相互学习，共同解决问题。集体备课可以让各个班级的学生在学习上有一个相对一致的进度，提高老师对变式教学运用的广度和深度，真正地解决变式教学在实际应用中遇到的难题。因此，教师应加强对变式教学的集体备课，多交流和讨论变式教学在圆锥曲线教学中的体会和困惑。

（二）围绕教学目标，探索变式路径

在对圆锥曲线问题解决过程中，教师应根据不同的教学目标，进行不同方式的变式探索。虽然老师们有意识地将变式运用到了圆锥曲线教学中，但是还缺少整体的设计和系统性，有时对变式教材的准备也不够充分，有些学生在变式教学中的学习效率很低。这是因为教师对变式的理解不够，或是对变式的发掘不够，或是在变式教学中忽略了基本的知识，以及运用变式来构造知识。在备课过程中，教师要明确变式教学的指导思想，积极探索变式的运用途径，合理地安排变式的内容，打牢学生的根基，使变式教学的成效得到充分的体现。应指出各种形式的教学活动都是为了达到教学目的而设置的，通过明确的教学目的，设计变式的教学环节，可以起到事半功倍的作用。

1. 深度挖掘教材内容，充分解析变式素材

随着教学辅助书、网络等的不断发展，有些老师因为备课时间紧张，会选择现成的变式，或者只是简单地总结教材的习题，而忽视了对教科书的延伸，在课堂上的观察中，也发现了这个问题，但是，这样的方法并不可取。在课程标准和有意义学习理论的指导下，全面理解圆锥曲线的内容，掌握教科书的内容，不仅可以看出教科书表层所呈现的知识点，还可以挖掘出教科书的深层含义，通过横向和纵向的联系和对比，抓住知识的共性，整合教材的资源，打通新知识与旧知识的桥梁，强化基础知识的运用和升华，深入挖掘教科书中的锥形曲线的可变维度，设计合适的变式内容，在现有知识的基础上构造新的内容，使学生能够复习旧知识，提高变式教学中学生的学习效果，还能促进学生对知识的迁移，巩固基础知识，形成知识体系。同时，在教学中也会有更多的自然过渡。在教学过程中，教师要做到“回归教科书”，要立足于“高处”，充分挖掘教材中的圆锥曲线内容，重视教材与教学资源的有效结合，通過知识之间的内在联系，适当地扩展和深化教科书的内容，达到“树与林”的效果。在教学中，我们不仅要注重教材表层所展现的知识，还要注重教材的内涵。所以，变式的内容要从教科书中产生，但又要比教科书更高，要运用教材进行教学，要把教材与其他的变式教学资源进行合理地整合，以达到设计的目的。例如，教科书中的第108页例题2和习题3.1复习巩固的第六题是同一类型的求轨迹题，并且其轨迹都为椭圆，解题过程如下：

在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？先设点M坐标为（x，y），点P坐标（x0，y0），而点D坐标（x0，0），线段PD的中点是M，所以可以知道x=x0，y=y0/2，将点P坐标代入圆x2+y2=4的方程式可以知道x20+y20=4，把x=x0，y=y0/2代入方程里就知道M的轨迹是x2/4+y2=1，轨迹为椭圆。

两个题型都为同一种，通过例题的变式可以加强学生对知识的巩固。

2. 依据数学对象，设计变式环节

数学概念是学生进行其他数学知识的基础，是进行数学思维的先决条件。数学的概念具有抽象的特征，学生在学习时往往会出现“背”的现象。运用过程变量显示概念产生的过程，理解概念的起源，并以概念性的变式对已经形成的概念进行非根本性的改变，这一过程可以有效地加强学生对基本概念的理解，从而提高其应用效果。以椭圆概念为例，它具有很强的抽象性，可以从概念引入、辨析和运用三个层面来教授它。如，通过多媒体播放一些关于椭圆形的图像，例如鸡蛋、香皂盒、行星绕太阳的轨道等。学生能否在照片中找到相同之处？生：“全部由椭圆形组成。”老师：“对，在我们的日常生活中，椭圆形是很普遍的。”老师：“让我们再来看看这幅图，在此之前，我们已经了解了关于圆形的知识，这个椭圆是通过圆‘压扁而获得的？他们之间是否存在某种关联？还记得以前我们是怎么把这个椭圆画出来的？”生：“将绳子的两头固定在相同的位置，用铅笔，拉紧绳子，转动笔头，就可以获得一个圆形。”老师：“很棒，如果把绳子的两头分开，固定在两个点上，按照之前的方法，会变成什么样的图案？”让学生动手。“你们在画什么图形？”生：“是一张椭圆形的图。”师：“那么，能不能给这个椭圆下个定义呢？老师给你提示，你还记得那个圆的概念吗？”生：“在一个平面上与一个固定长度相等的点的轨道。”老师：“你们可以把这个想成圆形，可以把椭圆的概念归纳出来吗？有没有想要说的？”生：“在一个平面上，两个点之间的距离之和等于一个恒量的点，称为椭圆。”教师根据学生的探究对知识进行总结，帮助学生归纳知识。

（三）以学生差异为基础，设计变式内容

在变式教学中，一些学生的学习效果欠佳，这是因为他们没有掌握好变式的“度”。每个学生都是独一无二的，他们的兴趣、思维方式、经验都不一样。教师要想上一堂好的数学课，首先要注意学情、掌握学生的知识层次、认知障碍、注意个体差异、重视变式教学内容与学生思维的一致性等。只有全面认识学生，才能运用变式教学，做到因材施教。否则，就会产生“教与学”脱节的现象，这种“变式”教学将会走向失败。而现代教育更是强调“以生为本”教学理念。在采用圆锥曲线变式教学时，应兼顾不同层次的学生，并针对不同的学生，制定相应的变式，使基础薄弱的同学“吃饱”。在设计变式的时候，有些学生想要探究，但是又没有能力去做，这会让他们产生恐惧，从而影响他们的学习积极性。但是，也不能把变式教学做得太简单，因为它会让学生丧失探究的兴趣。在科学的思想指导下，变式教学从简单到复杂，弥补了学生对知识的认识与不了解的空白，为知识的产生搭建了一个脚手架，可以兼顾不同层次的学生。同时，变式教学可以使学生达到更高的层次。所以，在设计变化时要从学生的视角出发，摒弃机械模拟，要有梯度，善于把新问题、难问题转化为老问题，对复杂问题可以分解为多个小问题，将其转化为简单问题。变式教学在新知识和老知识之间架起一座桥梁，一步一步，一层一层地进行，使所有的学生都能参与到这一过程中，并且让他们了解问题的结构特征，逐渐地解决问题，使他们能够不断地得到内化和提高。

（四）注重学法引导，融入变式思想

在为学生提供知识的同时，还要为他们提供获取知识的途径，使他们能够学到所需要的知识。在二次椭圆教学中，要引导学生将这三部分内容进行对比、分类、归纳、分解、推理等，使学生能够通过对两条曲线、抛物线等相关的知识学习，得出与之对应的命题或结论，并通过类推的方法来寻找新的问题。在遇到较复杂的问题时，将所学知识结合起来，将问题分解为几个过渡问题，然后逐步解决。在实施变式教学时，教师可以恰当地告诉学生变式的目的和方式，从学生对数学对象的感受，向学生传达变化的方向，向他们展示变式的过程，使他们感受这些变式的基本操作，使他们能看到这些变化的规律和不同，给他们提供练习的机会，验证他们的猜测。通过逐渐渗透变化思维，丰富学生的认知结构和变化行为体验，并使他们能够更好地进行变化学习。提倡多讲、多沟通、总结、反思、相互借鉴，共同提高思维的普遍性。同时，老师还要督促学生监督自己的学习行为，及时总结、主动寻求各种解题方式，把自己所学的数学思想传达给学生，使他们能够更好地进行迁移。在老师的悉心教导下，他们会慢慢学会变式的方法，遇到复杂的问题，就会将自己所学的知识和经验结合起来，学会分辨同类的问题和从不同的角度去分析问题，以此来提高自己的变式学习和解决问题的能力。

四、 结论

变式是一种将一个问题变换形式或另创条件进行解答的思维活动，是一种使学生掌握解题策略和数学思想方法的手段，同时也是对数学教学的深化。运用好变式，可以达到“一题多解”“一题多变”的效果。高中数学变式教学在转变学生学习观念、提升学生学习能力方面起著至关重要的作用。所以，应在高中数学教学中推广变式教学。

参考文献：

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［5］钟志华，李渺.基于变式教学的数学教学设计——以“基本不等式”为例［J］.数学通报，2019，58（5）：23-27.

作者简介：李琴（1979～），女，穿青族，贵州毕节人，贵州省大方县第三中学，研究方向：高中数学教学。