例谈双元不等式证明中的消元策略

广东省河源高级中学(517000) 李佳炎

双元不等式的证明是高考中的热点,同时也是学生的难点,由于高中阶段学生仅学习了一元函数的导数,因此证明双元不等式的总体思路就是消元,化双元不等式问题为单元不等式问题,如何进行消元成为了解题的关键.对于不同的题目,消元的策略是不同的,本文以近年高考真题及模拟题为例,探讨三种主要的消元策略.

策略一: 主元策略

当两个变量是独立时,不妨将其中一个变量作为主元,另一个变量固定成参数,这样双变量不等式就变成含参单变量不等式,这时可以直接构造一元函数来处理.

评析例1 中x1,x2是独立双变量,可以采用主元策略来证明不等式,由于x1,x2是可分离的,因此先转化为证明f(x1)+x1

例2 (2020 年高考天津卷) 已知函数f(x)=x3+klnx(k ∈R),f′(x)为f(x)的导函数.

评析例2 的x1,x2是独立双变量,但与例1 不同的是,例2 的双变量不能分离,因此考虑把其中一个变量作为主元(例2 中的x1),把另一个变量看成参数(例2 中的x2),直接构造一元函数,借助函数单调性来证明不等式.

策略二: 换元策略

当两个变量之间有等式制约关系时,我们可以考虑换元策略,换元策略一般有两类,第一类换元策略是将不等式中的一个变量换成另外一个变量,从而将双变量不等式变成单变量不等式;第二类换元策略是引入第三个变量,将不等式中的两个变量用第三个变量去表示,这样待证的双变量不等式就变成关于第三个变量的单变量不等式.

例3 (2018 年高考全国Ⅰ卷理科) 已知函数f(x)=−x+alnx,

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x) 存在两个极值点x1,x2,证明:

评析例4 中的x1,x2也不是独立的,它们由等式关系f(x1)=f(x2)约束,但是并不能像例3 那样能化简成一个简洁的等式关系,于是我们考虑将待证的不等式转化,向条件靠拢,也就是说要想办法给x1,x2套上“f”,然后将f(x2)整体换成f(x1),于是得到关于x1的单变量不等式,这种换元方式常用于极值点偏移问题及其衍生问题中.

例5 (2021 年广州市一模) 已知函数f(x)=xlnx−ax2+x(a ∈R),

(1)证明: 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l 恒过顶点;

策略三: 放缩策略

例6 (2015 年高考天津卷)已知函数f(x)=nx−xn,x ∈R,其中n ∈N∗,n≥2,

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证: 对任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);

(3)若关于x的方程f(x)=a,a ∈R 有两个正实根x1,x2,求证:|x1−x2|<+2.

解答(1)f′(x)=n−nxn−1,①若n为奇数,令f′(x)=0 可得x=1 或x=−1,当x ∈(−∞,−1),(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x ∈(−1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ②若n为偶数,令f′(x)=0 可得x=1,当x ∈(−∞,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x ∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

例7 (2021 年高考浙江卷)设a,b为正实数,且a >1,函数f(x)=ax−bx+e2(x ∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若对任意b >2e2,函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围;

总之,对于独立的双变量不等式证明问题,我们可以选择主元策略来处理,而对于有约束条件的双变量不等式证明问题,可以选择换元策略或者放缩策略,换元策略有两类,第一类是将其中一个变量换成另外一个变量,这种策略常在约束关系比较简洁,容易作代换时使用,而第二类换元则是引入新的参变量,将约束条件转化为两个变量关于参变量的参数方程,然后代入待证的不等式中,特别是对于有不等关系约束时,这种换元策略较为有效.而当换元策略无法奏效时或者换元后得到的单变量不等式形式比较复杂,难以下手时,都可以考虑放缩策略,放缩是比较难掌握的一种策略,需要把握好放缩的方向和放缩的尺度,常见的放缩由切线放缩、割线放缩、曲线放缩、取点放缩、均值或柯西不等式放缩等等.