深度学习视角下数学问题提出能力培养研究

徐晓建　李祎

1 引言

数学是思维的体操，问题是思维的动力和起点，数学学习可以看成是一个不断提出问题并解决问题的过程．培养学生数学问题的提出能力，有助于发展学生的数学思维，加深对知识的理解与认识，以便更好地解决问题．近年来，深度学习已成为教育领域专家们尤为关注的一个话题．深度学习与问题提出有着密切的关系，在深度学习的背景下如何培养学生数学问题提出能力，值得人们研究．

2 对深度学习的认识

深度学习的概念最早起源于人工智能领域，现在广泛应用于人工智能领域和教育领域．2005年上海师范大学的何玲、黎加厚开始教育领域的深度学习研究，其二人在共同发表的《促进学生深度学习》一文中给出了深度学习的明确定义[1]：深度学习是指在理解性学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题的學习．这一定义得到了较为广泛的认可．安富海进一步提出，深度学习是一种基于高阶思维发展的理解性学习，具有注重批判理解、强调内容整合、促进知识建构、着意迁移运用等特征[2]．

具体到数学学科，许多研究者给出了自己的理解．其中有研究者认为，数学深度学习是学习者通过建构数学知识体系、感悟数学思想、应用数学方法解决问题、发现或“再创造”数学的过程[3]．由于问题对数学学习的重要性，因此我们认为，数学深度学习是指学生在批判性理解的基础上，以数学问题为驱动，主动实现知识的有效迁移与应用，创造性地解决数学问题并发展高阶思维能力的过程．

3 对问题提出的认识

问题是数学学习一步步深入的推进剂，没有问题的数学学习显然不存在，数学学习就是不断提出问题、解决问题、提出新问题的循环过程．在数学学习过程中，问题提出甚至比解决问题更为重要，问题提出是解决问题的起点．爱因斯坦曾经说过，提出一个好的问题往往比解决一个问题更重要．

问题提出是数学活动的显著特点，是提高学生问题解决能力和改进学生对数学态度的有效手段，是促进学生理解数学的一个窗口[4]．问题提出包括对问题情境的探索产生新问题，也包括在解决问题的过程中对问题的“再阐述”[5]．数学问题提出是指学生基于给定的问题情境提出数学问题以及通过改变（或改编）已有问题来提出新的数学问题[6]．

由此我们认为，数学问题提出能力就是学生基于某些数学问题情境，分析情境中涉及的数学信息，综合自身已获得的相关知识提出新问题或对原问题进行“再阐述”的能力．问题提出能力已经成为学生数学学习中需要掌握的一项重要能力．

4 深度学习与问题提出的关系

问题提出是学生深入探究和理解数学知识的起点，是数学思维活动的有效载体，也是深度学习的开端．在数学学习过程中，学生的深度学习往往是从问题提出开始的．问题提出能够推动数学学习的进一步深入，促进学生数学思维的深入发展，提高学生的数学思维品质，这与数学深度学习强调促进学生高阶思维能力的发展不谋而合，同时，学生具备数学高阶思维反过来又有助于提出更高质量、更有深度的数学问题．

因此深度学习与问题提出存在着非常密切的关系，即问题提出可以促进深度学习的发生，深度学习可以提升高阶思维能力；反之，具备高阶思维能力，又有助于提出更高质量的问题．如此可以形成一个良性循环的闭环（如图1）．因此，在当前的数学课堂教学中，培养学生问题提出能力已经成为实现数学深度学习的内在要求，具备良好的数学问题提出能力是学生实现深度学习的一个必要条件．

5 深度学习背景下培养数学问题提出能力的必要性

数学深度学习重视发展学生的数学高阶思维，低阶思维已经不再适应学生的终身发展．在数学学习的过程中，数学思维的培养很大程度上要依靠数学问题来驱动．但在目前的数学课堂教学过程中，学生很多时候还是扮演被动解决问题的角色，一般都是教师提前设置好数学问题，要求学生用刚学的数学知识方法来解决问题，以达到训练和检测的目的．这样的课堂教学，数学问题情境相对封闭，学生思维得不到拓展．更重要的是，长此以往，学生缺乏主动提问的意识与能力，对教师设置的问题被动作答，缺乏质疑精神，教师怎么说就怎么做，不敢提出自己的疑问，更不用说提出新的数学问题．

思维的火花往往就在提出某个数学问题时得以迸发，但是学生在数学课堂中经常处在一种不想提、不敢提、不会提的尴尬境地，长此以往，学生的数学思维得不到良好的发展，数学高阶思维的培养更是无从谈起，这样的数学学习只是停留在浅层状态，数学低阶思维占主导地位，数学深度学习难以实现．因此，在倡导深度学习理念的当下，数学问题提出能力的培养必须得到关注和重视．

6 深度学习背景下培养数学问题提出能力的可行性

在数学学习活动中，要让学生意识到数学问题的存在，并且自己需要问“为什么”“是什么”“怎么办”，这样才能激起学习中的思维火花，而且这种问题意识越强烈，自己的思维就越活跃、越深刻、越富有创造性[7]．培养学生的数学问题提出能力，要着力破除学生在数学学习过程中“不想提”“不敢提”“不会提”的现状，引导学生向“想提问题”“敢提问题”“会提问题”转变，促进数学思维向深层次发展，实现数学深度学习．

6.1 创设数学情境，激发“想提问题”的欲望

有些学生认为提问题会花费过多时间，所提的问题也不一定有助于自身的数学学习，因此导致数学学习过程中不想提问的局面．面对这种情况，教师要帮助学生树立正确的观念，即问题是数学学习的重要驱动，能促进数学思维的发展，不必过多考虑提问题的时间成本或者所提问题是否有意义等，在数学学习中要有时刻想提问题的冲动．这样帮助学生放下心理包袱，积极思考并尝试提出问题．

数学情境是学生提出数学问题最直接的载体．数学教师可以通过创设数学情境，引导学生分析和挖掘情境中蕴含的数学信息，让学生根据自己的理解主动进行提问，如此有助于激发学生想提问题的欲望，从而培养学生的问题提出能力．例如，在高中教学“等比数列的前n项和公式”时，可以设置这样的情境：八戒西天取经后，担任了高老庄集团的董事长，因急需大量的资金投入，于是找大师兄孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万连续一个月（30天），但从投资的第一天起，第一天必须还给我1元，第二天还给我2元，第三天还给我4元……”八戒心里想了一下，就答应了悟空的要求．情境戛然而止，并没有给出要研究的问题，学生顿时有了疑问，有了想提问的心理倾向，这时教师及时进行引导，激发想提问题的欲望，让学生自己提出想要探究的问题．学生根据自己的想法可能会提出这些问题：悟空一个月（30天）一共投资了多少钱？从第一天起，八戒每天还给悟空的钱分别是多少？八戒还的钱符合等比数列特点，通项公式是多少？一个月（30天）下来，八戒一共要还给悟空多少钱？悟空的投资是亏了还是赚了？

学生根据数学情境提出的问题，或简单或复杂，或有用或无用，或幼稚或成熟，但教师都需要给予肯定，巩固学生“想提问”的心理基础，在肯定学生提问精神的同时，教师可以与学生一起探讨哪些数学问题值得继续研究，哪些问题则可以选择跳过、不必深究，这样的师生交流过程能真正实现学生从不想提问到乐意提问的态度转变，能促进深度学习的发生和学生高阶思维的发展．

6.2 鼓励大胆质疑，增强“敢提问题”的勇气

在数学课堂教学中，一部分学生对待数学问题的态度是想提却不敢提，究其原因是学生缺乏大胆质疑的精神，内心有疑问却不敢提出．学生往往将课本和教师所说的话视为正确无误的“圣经”，基本上不敢去质疑，并且一旦质疑失败，会让自己陷入尴尬境地，正是有这种心理作祟，导致学生不敢提出自己的问题．数学深度学习特别强调学生对知识进行批判性理解，这就要求学生在数学学习中始终要有一种质疑和批判的精神．

数学教师必须鼓励学生大胆提出自己的疑问，鼓励学生在数学学习中多问几个为什么，抱着质疑的态度去理解教师的教学，将教材当作学习的参照和参考而不是绝对真理，随时准备提出自己的问题．例如，在高中学习“三角函数”一章内容时，学生学习后应该大胆提出疑问：教材中的正弦函数与余弦函数均是按照先图象后性质的研究顺序，为什么正切函数要采用先性质后图象的研究顺序？这样的安排有什么特殊的意义吗？又如，在高中学习“三角恒等变换”这部分内容时，学生应该大胆质疑并提出问题：为什么首先要学习“两角差的余弦公式”？是因为它有特殊的意义与作用吗？先学习其它公式，如“两角和的正弦公式”，有什么不妥吗？

学生只有大胆提出自己的疑难困惑，教师才能更精确地掌握学生的学习及思维状态，从而有针对性地促进学生思维的发展，推动学生的数学深度学习．学生要深刻意识到大胆提问是将自身思维展现出来的过程，通过不断质疑和发问，数学思维将会更上一层楼．

6.3 掌握提问方法，提高“会提问题”的本领

“想提问题”“敢提问题”还是停留在学生的心理层面，是一种心理倾向，它们构成了学生数学问题提出能力的心理基础，但真正体现数学问题提出能力的关键还在于“会提问题”，这就需要学生掌握必要的提问方法．达尔文曾经说过，最有价值的知识是关于方法的知识．因此，教师需要有意识地教给学生一些提出数学问题的具体方法，帮助学生提出有意义的、有助于思维发展的数学问题．

在数学教学中教师需要创造条件，帮助学生掌握并运用一些实用的提问方法．教师可以参考如下方法引导学生进行提问[8]：因果联想法、比较分析法、扩大成果法、特殊化方法、变化条件结论法、逆反思考法、实验观察法等．比如，要让学生掌握比较分析法，就需要教师引导学生在对比分析相近事物的过程中找出不同点并提出新的问题．例如，在高中学习“函数的概念”时，学生自然会联系到初中学习过的“函数”内容．这时教师要顺着学生的思路，引导他们自己提出问题：初中学习的函数概念与高中的函数概念有什么区别与联系？为什么高中阶段采用集合的对应关系研究函數，而不继续采用两个变量之间的关系来研究函数？提出并解决上述问题，不仅促进了新知识的理解及原有知识体系的完善，而且学生的数学思维得到进一步发展，这样的学习才可以说是真正意义上的深度学习．

又如，为了让学生掌握扩大成果法的提问方法，在高中数学教学中可以引导学生开展类比提问法．比如，在学习等差数列与等比数列之后，启发学生思考并提出问题：是否存在等和数列与等积数列？在学习正弦定理和余弦定理之后，启发学生思考并提出问题：是否存在正切定理和余切定理？在知道了动点到两定点的距离之和为定值、距离之差为定值的轨迹分别为椭圆和双曲线之后，启发学生思考并提出问题：动点到两定点的距离之积为定值、距离之比为定值的轨迹分别应是什么呢？由此进行类比联想提问，促进数学知识的扩充和拓展，培养学生的高阶思维能力．