无中生有 有迹可循

何萍　蔡德清

古有女娲补天，今有几何补线．自进入平面几何学习以来，常需面对辅助线解决几何问题的情形．然而，如何构造辅助线却成为解决几何问题的绊脚石，考生时常闻风丧胆，迟迟怯于下笔．事实上，辅助线的构造，建立在考生对几何知识深刻理解、熟练掌握、灵活应用的基础上，并非毫无章法可言．

1 几何常遇拦路虎，百思勤练苦尝试

路径最值问题是一类具有现实意义的几何问题，体现数学在生活中的应用价值．其中，“将军饮马”模型是路径最短问题中最具代表性的典型题型之一，古今中外不乏数学大家深入研究，具有较高的研究价值．寻找最值的过程中，需要尝试在所有可能的结果中觅得“最大”或“最小”值，而此时，对学生而言，却是构造辅助线题型中最高级别难度的问题，考查学生的几何直观感知能力，逻辑推理能力，抽象图形能力，综合分析、解决问题能力，渗透分类讨论思想，极限思想等．

解决这类平面几何问题的过程中，考生需不断构造辅助线，反复推敲，方能找到最值的路径．如若非要套用模型，固化思维，那么将是山穷水尽，而若能灵活变通，则必定能够柳暗花明．因此，理解几何题目中条件里字里行间隐含的内在本质，抽象提取图中的关键要素，动手操作，尝试不同辅助线作法，结合逻辑推理能力，经过反复有机训练，提炼总结归纳几何题解题方法与技巧，则可游刃有余完成几何证明、求解等难题．

2 似曾相识却无解，透过题目析本质

“将军饮马”模型作为大型测试的常客，中考、质检等不乏其身影，笔者以此模型为例剖析辅助线的来龙去脉．涉及辅助线的几何题考法较为灵活，但“将军饮马”模型的考查常常按部就班置于多姿多彩的几何背景中，通过抽象出“一线+两同側点”的几何模型，借助轴对称的几何变换，利用垂直平分线的性质，结合“两点之间线段最短”的基本事实，在已知的“定线”上即可寻得最值点．

2.1 由最值构造对称轴

数学问题的命制最忌熟悉的套路反复出现，必将学生的思维限制在框框条条之中．因此，越是经典的题型，越需要创新的呈现，方能开阔眼界，挖掘潜能，拓展思维．于是，2021年莆田市八年级市质检24题横空出世，本道题的命制反其道而行，不再出现“将军饮马”模型中的那条河，那么该如何寻找消失的河呢？本题前两问是常规的将军饮马问题，笔者不作讨论，仅对第三问进行剖析．

但有别于常规题型，对考生而言，似乎看不到“将军饮马”的影子，陷入困局，关键问题在于“河”隐身了，仿佛失去了依靠而导致无从下手．此时应回归问题本质，转换常规思维，搜索已有知识，类比联想，构造恰到好处的辅助线，这也是本题的精妙独特之处．“将军饮马”模型的内在核心是对称性，而本题的亮点也是难点在于对称轴成为最终的求解目标，而不再是辅助工具．此时需要利用对称不变性，作出点O或点B的对称点，逐步逆向推导，借助构造辅助线补全图形，构建将军饮马模型，便可豁然开朗．

与此同时，本题置于尺规作图的背景中，无形当中命制的创新性又提升一个层次，对考生提出更高的要求，更能展现考生的数学素养．显然，本题解决过程需要不断大胆尝试，巧妙构造辅助线，寻找那条失踪的“河”．回首本题，隐身的“河”即为对称轴，遵循对称性原则，抓住对称变换的变与不变，作出对应点，从而便可按部就班解决问题．

从答题情况看，此题失分除了“将军饮马”模型的应用不够熟练以外，最主要原因是几何思维不够活跃、联想能力较弱导致考生无从下手，不敢轻易动笔尝试．万丈高楼始于纸上，要建筑摩天大厦，要先设计宏伟蓝图，当然设计几何蓝图的依据便是对几何知识的熟练掌握，对几何的核心本质要了然于胸．同时，最为核心的关键点在勇于动笔尝试，敢于构造辅助线，要有试错的耐心、纠错的决心．数学是思维的科学，而几何题需要将思维通过动笔直观展现出来．在思维呈现的过程中，常常需要借助辅助线，使得几何大厦更加牢固，此时便可构造出精彩绝伦的模型．

正如本道题，考生若能将题中简洁的语言表述翻译出较为直接明了的条件要求，进而转化为常见的问题，化新知为旧知，将熟练的几何模型进行逆向迁移，动笔构造辅助线．也许辅助线无法一步到位，但在无数次的尝试甚至错误中，能够有所启发、反思、领悟，从而解题过程便呼之欲出．

2.2 构造对称轴求最值

无独有偶，2021年莆田市九年级市质检24题命制了看似相同却也不同的题型．

原题呈现 如图3，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E为BC边上的动点，连接DE．过点E作EF⊥BD于点F，点G为DE的中点，连接CF，CG，GF.点M，N分别在ADCD，上，且DM=9/2，DN=1，连接GM，GN，当GM+GN取最小值时，求S的值．

感悟启思 本题第二问的第2小题，目标定位在求GM和GN的和的最小值，即路径最短问题，识别出具体问题背后的一般性后，结合条件，从复杂的图形中，抽象出几何模型，转化为熟悉的“将军饮马”模型．此时，遇到与上例同样的问题，模型虽已联想到，但条件却与常见问题截然不同，此时，将军饮马中的“河”又隐身了．

通过观察图形，思考探究，分析题意，点E为主动点在线段CB上运动，DE随之运动，G为DE中点，得出从动点G在ΔBCD的中位线OP上运动，此时，最关键的辅助线OP便跃然纸上．取得将军饮马模型的钥匙后，便可打开最值的大门，借助作点N关于OP的对称点N′，如图4，线段MN′的长即为GM+GN的最小值．

涉及最值问题，渗透极限思想，需针对具体问题展开更为全面的分析，特别地，与动态几何题的相互交融，使得数形结合展现得更加丰富、饱满．本题的关键点便是辅助线OP的寻觅，全方位考查考生几何直观、动态几何抽象、逻辑推理等关键能力的掌握水平．看似辅助线无从下手，而实际上OP的轨迹通过逐步推导构造．实际上，无论多繁杂的题目，都可借助波利亚的四个解题步骤，抽丝剥茧，层层递进解决问题，几何题尤为如此．当然，几何题有独特精妙之处，便是至关重要的辅助线．

综上所述，例1已知定性的最值点，由点求作对称轴，需紧抓对称性，分析对称变换的变与不变，循序渐进思考，活跃逆向思维，类比路径最短问题的求值，联想到“将军饮马”模型，巧妙构造辅助线，由最值点反推求作出直线，即对称轴；例2通过构造对称轴，定量求解最值，由题中线索构造辅助线，进而借助“将军饮马”模型，正面求解最值问题．两道例题完美展现双向考查同一个知识点的策略，灵活置换条件、结论，但隐身的对称轴保密性较强，通过辅助线的构造外显考查．因此，辅助线的构造是否灵活便可综合考查考生的几何知识掌握水平．

总而言之，平面几何问题中，尽管是同一个模型，但是切换为正、反面不同角度，则需创造性又有理有据构造匹配不同题型的恰当的辅助线，要点在于因题而异，由题定线．

3 百般题型皆如此，探本求源构辅助

平面几何题千千万，切忌题海里漫无目的遨游，解几何题的旅程尤其需要明确的目标．几何题目设置的问题便是航行的方向，几何的定义、公理、定理等知识决定航行的动力，而辅助线就是旅程的航线，尤为重要．航线众多，构造方法多样，需根据自身具备的几何知识，结合题中条件合情推理、演绎推理，选择正确的方向．一旦偏航，掌舵者也就是考生，便如无头苍蝇，在几何图形前束手无策，胡乱打转，随意构造辅助线，无法攻克几何问题．正所谓“兵马未动，粮草先行”，要想应对航行中遇到的各类难题，考生需储备充足的几何知识，武装充满几何思维的大脑，掌握丰富的解题经验．

幾何问题中的辅助线，皆有因果．以题中出现“中点”条件为例，则应联想到作中位线、直角三角形斜边上的中线、倍长中线，亦或是利用等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定、三大几何变换的性质构造图形．与此同时，对于几何题中出现的线索要擅于挖掘，结合已掌握的知识，大胆尝试构造辅助线．解题方法、技巧、思维在脑中，但是辅助线在笔下，只有将二者有机结合，才可攻破几何难题．初中阶段的几何综合题，往往是包含千变万化的辅助线作法的平面几何题，全面考查几何直观想象、逻辑推理、数学建模、数学抽象等核心素养，深挖分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想，体现分析问题、解决问题的关键能力，具有较高的命题价值，值得引起关注．

无论是何种题型，教学中切不可将模型放在首位，生搬硬套，那必定会本末倒置，限制思维的发展，而应当重视学生高阶、多向思维的发展，甚至遇到难题时更要不走寻常路，逆向、反向思考，或许能有顿悟之感．模型思想的渗透，应当在于引导学生灵活掌握各个知识点，并能够独立自主探究，主动构建恰当的模型，模型应为生所用，而非将模型奉为学习法宝．只有透过问题的表面，挖掘内在的本质，才能构造相得益彰的辅助线，搭线牵桥，配合严谨的逻辑推理，高效解决问题．明面上，辅助线貌似无中生有，事实上，暗含条件中、图形中、问题中，有迹可循，从而构造打开解题大门的重要辅助线．而这，恰是几何，更是数学的魅力．

女娲补天也许只是传说，美丽而神秘，然而，辅助线却是真实存在，是每位中学生所必须面临的一道坎，其实它也是神奇而美妙的．面对几何问题感到困惑迷茫时，可能只是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，尚未从新问题联想到已知、已求、已证中．此时，发散活跃思维，不走寻常路，不落套路，或倒行逆解，或顺势而为，或另辟蹊径，构造恰如其分的辅助线，以期达到解题的目的．