函数单调性的几个妙用

刘海青

(福建省莆田第六中学)

函数的单调性在数学解题中有着广泛的应用.有些数学问题,貌似与函数的单调性无关,但如果我们能充分挖掘其结构特点,将其与单调性联系起来,就会迅速打开解题思路.

1 利用函数的单调性解方程

对于有些涉及高次方程或超越方程的问题,用普通方法求解往往无功而返,若用函数单调性的观点去处理,可能会化难为简.

例1解下列两个方程:

(1)2x3＋x＝18;

(2)ln(x－1)＋ex－2－1＝0.

解析

(1)方程2x3＋x＝18属于高次方程,似乎无法直接求解,但我们注意到函数f(x)＝2x3＋x是R上的增函数,且f(2)＝2×23＋2＝18,于是根据函数单调性的特征,可知方程2x3＋x＝18只有一个解,且为x＝2.

(2)方程ln(x－1)＋ex－2－1＝0是超越方程,难以直接求解.我们注意到g(x)＝ln(x－1)＋ex－2－1是由y1＝ln(x－1),y2＝ex－2和y3＝－1这三个函数组成的,前两个函数是增函数,最后一个函数是常数函数,于是由复合函数的单调性,可知函数g(x)在定义域内是增函数.

经观察,不难得到g(2)＝0,于是根据函数单调性的特征,可知方程ln(x－1)＋ex－2－1＝0只有一个解,且为x＝2.

点评

单调函数是一一对应函数,当f(x)在定义域D上是单调函数,若a∈D,有f(x)＝f(a),则必有x＝a.

2 利用函数的单调性解不等式

当有些不等式,尤其是与抽象函数有关的不等式无法用常规方法来求解时,我们不妨考虑运用函数的单调性求解,并利用函数的单调性将它转化为普通的不等式或不等式组.

综上,a的取值范围为(－∞,－6)∪(1,＋∞),故选B.

点评

本例中的函数比较复杂,必须先观察它的奇偶性与单调性,这也是求解问题的“突破口”.求解这类问题应确定有关函数是增函数还是减函数,此外,解题过程中不可忽视函数的定义域.

3 利用函数单调性比大小

函数单调性的定义具有双向性,即已知函数的单调性,可以由自变量的大小关系来确定函数值的大小关系;反之,也可由函数值的大小关系来确定自变量的大小关系.

例3已知a＝e3,b＝πe,c＝eπ,则( ).

A.c＞a＞bB.b＞c＞a

C.a＞c＞bD.c＞b＞a

点评

若可以确定函数的单调性,则比较函数值的大小不必计算函数值,只需比较自变量的大小即可.因此,破解这类问题的关键是构造函数,判断函数的单调性.

4 利用函数的单调性求值域

所谓函数的值域,就是函数图像在y轴上的射影.若函数在连续区间上是单调函数,则只需求出定义域两端的函数值,就可确定它的值域.

点评

利用函数单调性的性质求函数的值域,是求有关函数值域问题的首选方法,但要注意的是用该方法求解解答题时,应先证明函数的单调性.

5 利用函数的单调性证不等式

函数的单调性体现了不等关系.对于有些不等式,我们可以用函数单调性的观点去证明,即需找到一个具有单调性的恰当函数作为证明不等式的“桥梁”.

点评

利用函数的单调性证明不等式的关键是构造函数,如何构造函数,需仔细观察待证不等式的结构特征,从中看出“隐藏”的函数.

当遇到一个数学问题时,如果试着用函数的观点去思考,那么首先想到的是函数的性质,因为这往往是解决问题的“突破口”.应用函数的性质解题,实质上就是应用函数思想解题,而函数思想是高中数学基本的思想方法之一,我们应高度重视.

(完)