以形释数，构图求最值

王远征

(广东省深圳市高级中学南校区)

数与形是数学研究对象的两个方面,高校强基测试题和数学竞赛题十分重视对数形结合思想方法在解题中灵活运用能力的考查.求函数的最值(或值域)问题是强基校考试题和数学竞赛试题中的热点,这类试题设计新颖别致、巧妙灵活,其解题方法丰富多彩、灵活多变,富有挑战性.对解题者的观察能力、联想能力、化归意识、灵活运用数学思想解决问题能力的考查十分到位.本文结合例题介绍数形结合思想在解答求函数最值问题中的应用,以期读者体会数形结合思想在解题中发挥的化难为易、化繁为简、化抽象为具体的作用.

1 构造两点间的距离公式求最值

2 构造点到直线的距离公式求最值

当待求目标式中出现了|ax＋by＋c|的形式时,我们可以构造点P(x,y)到直线l:ax＋by＋c＝0的距离公式来求最值.

3 构造直线的斜率公式求最值

4 构造直线和圆求最值

将已知条件和待求式适当地恒等变形,根据直线与圆有公共点时,圆心到直线的距离不大于圆的半径来列不等式求最值.

它表示以a,b为变量的直线方程,以a,b为变量可以构造圆a2＋b2＝r2.当圆与直线有公共点时,由直线与圆的位置关系得

5 构造直角三角形求最值

数形结合思想是常用的解题技巧,本文中的例题主要介绍了化“数”为“形”的解题策略和方法,解题时要求解题者善于观察式子的结构特征,进而产生联想、发现和揭示隐含在式子背后的几何意义,再借助几何图形的直观性解题,但解题过程中仍然需要利用代数知识进行严格论证和计算.值得注意的是,在解题中数形结合思想是探究解题思路时使用的,不可以利用图形的直观性代替计算和推理论证,画函数图像时,应该注意函数自变量的取值范围.

(完)