聚焦抽象函数及其应用探究

徐亮光

(山东省青岛市西海岸新区实验高级中学)

高中数学有一类只有某些性质没有具体表达式的函数,我们把这类函数称为抽象函数.抽象函数问题经常出现在各级各类考试中,破解抽象函数问题的策略很多,那么抽象函数有哪些应用呢? 本文举例说明.

1 求函数值或解析式

一般地,我们常用赋值法求抽象函数中的函数值或解析式.对于求值问题,一般通过观察已知关系与未知关系之间的内在联系,巧妙赋值,建立已知条件与欲求结果之间的联系,从而求得函数值;求函数解析式时,通常对已知等式中某些变量适当赋值,使它在关系式中“消失”,进而得到保留一个变量的函数.

解得f(t)＝cost＋2sint,则f(x)＝cosx＋2sinx,经检验f(x)满足已知条件.

点评

对于抽象函数求函数值或解析式问题,当一次赋值无法解决问题时,应多次赋值解决.求解问题时应善于观察与分析,找出赋的值与待求结果之间的关系.

2 单调性与奇偶性的判断或证明

判断与证明抽象函数的单调性与奇偶性,既要应用函数单调性与奇偶性的定义,又要用到赋值法,即适当赋值后应用函数的单调性与奇偶性的定义加以判断或证明.

例2已知定义在(－∞,0)∪(0,＋∞)上的函数f(x)对于任意的a,b∈(－∞,0)∪(0,＋∞),满足,且当x∈(0,1)时,f(x)＞0,则下列说法正确的是( ).

A.f(x)是奇函数但不是偶函数

B.f(x)是偶函数但不是奇函数

C.f(x)既是奇函数又是偶函数

D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数

解析

函数f(x)的定义域(－∞,0)∪(0,＋∞)关于原点对称,且对于任意的a,b∈(－∞,0)∪(0,＋∞),有,所以令b＝－a,有f(－1)＝f(a)－f(－a);令a＝b＝1,有f(1)＝f(1)－f(1)＝0;令a＝1,b＝－1,有f(－1)＝f(1)－f(－1),则f(－1)＝0,f(a)－f(－a)＝0,即f(a)＝f(－a),故f(x)是偶函数.

当x∈(0,1)时,f(x)＞0,即f(x)不恒为零,则f(x)只能为偶函数,不能为奇函数,故选B.

点评

判断抽象函数的奇偶性,一般采用定义法,即只需对已知等式适当赋值,并推导出奇函数或偶函数的定义式.

3 周期性和对称性的判断或证明

若函数y＝f(x)对一切实数x都满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b,那么函数y＝f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称.求解与函数周期性有关的问题,一般采用赋值法,并结合所给抽象函数的等式进行转化,从而得出f(x)＝f(x＋T)的结论.

解析

(1)在对称关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b中,令a＝0,b＝2024,则函数y＝f(x)的图像关于点(0,1012)对称.根据原函数与其反函数的关系,可知函数y＝f－1(x)的图像关于点(1012,0)对称,故f－1(1012＋x)＋f－1(1012－x)＝0,将上式中的x用x－1012代换,得

(2)将已知恒等式中的x换成x＋m,得

4 综合性问题

有关抽象函数的综合性问题,往往以其他数学知识为背景,求解时一般采用赋值法.

例4已知函数f(x)对于任意实数x,y∈R恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且当x＞0时,f(x)＞0,f(1)＝1.

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)在[－4,4]上的最小值;

(3)解关于x的不等式:

点评

第(3)问需要对含参的二次函数进行分类讨论,难点在于分类讨论标准的确定,求解时主要是按照是否有根或根的大小进行分类求解.

(完)