梳理命题内涵，掌握证明术语

徐菊萍

苏联数学家阿诺尔德说过：“证明之于数学，犹如拼写之于诗歌。如同诗歌由字符组成一样，数学工作是由证明组成的。”数学在定义、公理基础上，通过推理、证明得到一系列定理，从而组成逻辑体系。证明常常会涉及“定理”“公理”“推理”等名词，有的同学往往因为不能辨析这些名词，影响了下一步的学习。下面，让我们一起来梳理这些名词的内涵和关系。

一、命题的概念

判断一件事情的句子叫作命题。我们从现代汉语语法角度来理解，命题通常是一个陈述句，不是短语。疑问句、祈使句、感叹句等句子也都不是命题。

例1 下面的句子中，是命题的有__________。

（1）小数都可以化成分数；（2）教室里的学生；（3）你吃饭了吗？（4）内错角相等；（5）延长线段AB；（6）今天的天气真好啊！（7）若[a]＞[b]，则a＞b；（8）对顶角相等；（9）两直线平行，同位角相等；（10）同一平面内不相交的两条直线叫作平行线。

【解析】（2）是短语；（3）是疑问句；（5）是祈使句；（6）是感叹句。它们都不是命题。而（1）（4）（7）（8）（9）（10）都在做判断，是命题。故答案为：（1）（4）（7）（8）（9）（10）。

判断一个语句是不是命题，不要与判断结果的对错混淆。（1）（4）（7）都是判断错误的语句，它们是假命题，也是命题。

二、命题的组成

命题由条件（题设）和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。其中，“如果”之后的部分是条件，“那么”之后的部分是结论。

我们同样可以利用现代汉语语法，来帮助我们改写命题的形式。首先，找到句子中的主语，再确定其条件和结论。其中，条件和结论的主语是一致的。

如例1（1）中，“小数”说明主语是“数”，“小”是定语，用来修饰“数”。而后面的“化成分数”是“谓语+宾语”结构，是判断的结论。因此，该命题可以改写为：如果一个数是小数，那么这个数可以化成分数。

（4）中，主语是“角”，“内错”是定语，“相等”是谓语。表明主语怎么样，是判断的结论。因此，该命题可以改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等。

例1中还有3個命题，请大家尝试模仿上述方法来改写。

三、命题的真假

既然命题是可以判断的，就必然会产生“对和错”两种结果。根据判断的结果对错，命题又分为真命题和假命题。真命题是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论成立。常见的真命题有哪些呢？

1.定义。定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子，如例1中的（10）。定义的结构常常为“A叫作B”，其中B是名词。

2.公理。公理是人们在长期实践中总结出来的正确的命题。公理的正确性是在实践中得以证实的，被大家公认的，不再需要证明，并且它可以作为证明其他真命题的依据。苏科版教材也称公理为基本事实，比如例1中的（9）。

3.定理。经过证明的真命题称为定理。比如，由例1中的（9），可以证明得到定理“两直线平行，内错角相等”。

4.推论。由一个定理直接推出的正确结论，叫作这个定理的推论。比如，由三角形内角和定理，推出的推论为“多边形的外角和为360°”。

例1中，（8）（9）（10）都是真命题。其中，公理和定义不需要证明，也不能证明，而定理、推论和其他的真命题则需要证明。假命题是错误的命题，即如果一个命题的题设成立，不能保证结论一定成立。

四、命题的互逆

如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。由于每个命题都由条件和结论组成，只要把一个命题的条件和结论互换，就得到它的逆命题，因此每个命题都有逆命题。

比如，例1中（9）的逆命题是“同位角相等，两直线平行”。

那么（4）的逆命题是什么呢？对于这样的不能明显看出条件和结论的命题，我们可以先将命题改写成“如果A，那么B”的形式，先找到条件和结论，然后把A和B对调。比如（4）改写为：如果两个角是内错角（A），那么这两个角相等（B）。交换A和B的位置，可得逆命题：如果两个角相等（B），那么这两个角是内错角（A）。

值得注意的是，原命题的真假与逆命题的真假无关，比如，（9）是真命题，但其逆命题是假命题。

五、命题的证明

根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫作证明。真假命题的证明方法不一样。

假命题的证明方法：举反例，即举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题。

比如，例1中（1）的条件是“一个数是小数”，结论是“这个数可以化成分数”，要证明这个命题是假的，我们只要找到一个不能化成分数的小数即可。因此，我们可以找任何一个无限不循环小数。它符合条件，是小数；但不符合结论，它是无理数，不能化成分数。这就是举反例。

真命题的证明方法：我们学习的主要是符号命题的证明，直接推理即可。与图形有关的文字命题的证明是同学们的薄弱之处，我们可以通过数学三种语言的“翻译”，转化来理解（如图1）。

例2 证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题。

【解析】首先，我们要分析命题的条件和结论，将其分别“翻译”成包含“已知”和“求证”的符号语言，并画出图形。本题的条件是“有三个角是三角形不共顶点的外角”，结论是“这三个角的和等于360°”。由于本题涉及一个三角形及其三个不共顶点的外角，故我们可画出图2，结合图形，将条件翻译成“已知”，将结论翻译成“求证”，然后完成推理过程。

已知：如图2，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的三个外角。求证：∠1+∠2+∠3=360°。

本题证明方法有多种，我们选择一种证明如下。

证明：∵∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠ACB=180°（平角定义），

且∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°（三角形内角和定理），

∴∠1+∠2+∠3=180°×3-180°=360°（等式性质），

即∠1+∠2+∠3=360°。

答：命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题。

推理能力主要指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。其中，利用直觉、联想、观察、实验、归纳、类比等方法进行的推理是合情推理，可以帮助我们得出猜想或结论，而例2属于演绎推理，是对猜想和结论进行的逻辑推理。

几何知识的抽象性比较强，作为初中阶段的我们，要梳理图形和相关概念的关系，养成推理意识，借用其他学科的知识，学会严谨的分析方法和推理方法，形成推理能力。

（作者单位：江苏省苏州市吴中区独墅湖中学）