明晰命题概念，理解证明价值

万广磊

通过本章的学习，同学们将会知道，利用证明，我们能够有理有据地阐述问题，以理服人，这体现了逻辑推理的强大力量，也培养了我们终身需要的科学态度和理性精神。

一、明晰有关概念及联系

在本章的学习中，我们将了解定义、命题、基本事实、定理、推论等有关概念。

对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义。比如，“平行线”的定义是“在同一平面内，不相交的两条直线”。

命题是判断一件事情的语句，一般结构是“条件+结论”。比如，“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”，条件是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”。

命题有真有假。如果命题的条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫作真命题。如两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；如果a＞b，b＞c，那么a＞c；对顶角相等。如果命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫作假命题。如同旁内角互补；如果a＞b，那么ac＞bc。

每一个命题都有逆命题。对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。其中一个命题叫作原命题，另外一个命题叫作原命题的逆命题。比如，“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”。

需要特别说明的是，原命題的真假与逆命题的真假没有必然联系。原命题为真，逆命题未必为真。比如，真命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，这显然是假命题。

基本事实（公理）是人们在长期实践中总结出来的、正确的命题，它不需要证明。例如，我们已经学过几个基本事实：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；⑤同位角相等，两直线平行；等等。基本事实可以作为证明其他真命题的依据。如应用基本事实“两直线平行，同位角相等”，可以推导出“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

定理是根据基本事实推导出来的真命题，都是最基本的和常用的，也有许多经过证明的真命题没有被选作定理。因此，定理都是真命题，而真命题不都是定理。例如，“若∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”，这就是一个真命题，但不能说它是定理。

此外，推论是由基本事实和定理推出的结论，往往比定理的限制条件多一些。比如，由三角形内角和定理“三角形的内角和等于180°”得到的推论有“直角三角形两个锐角互余”和“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”。因此，推论是定理的特殊情况。

综上，定义、基本事实、定理、推论都是真命题。

二、明白证明的必要性

学习几何离不开观察和实验。几何中研究物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察进行的。例如，我们在小学数学里观察过一些三角形三个角的和，并运用实验（剪拼）的方法，得到“三角形三个角的和等于180°”这个结论。但是，从观察和实验得到的认识是初步的，往往是不全面的、不深入的。是不是所有的三角形都是这样的？为什么每个三角形三个角的和必然是180°呢？这就要在观察的基础上，有理有据地说明理由，这就是推理。推理不仅可以使我们从观察实验得到的知识更全面、更深入，而且可以进一步得到一些新知识。

根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫作证明。证明要做到言必有据，往往需要我们从一些关联的条件出发，应用一定的知识，通过分析、推理，然后做出正确的判断。

在几何中，除了基本事实外，不管命题的结论多么明显，都必须通过推理来证明。这是因为直观有时会造成错觉，并不永远可信。通过对少数具体例子进行观察和测量得出的结论，不能保证在一般情况下都成立，因而有些图形的性质并不能通过测量得出。

因此，在几何中，除了公理以外，任何一个命题的正确性，只有在进行了推理、论证以后，才会得到认可，而这种推理、论证，就是借助于演绎推理来进行的。最重要的是，通过推理的方法来研究图形的性质，不仅可以掌握许多无法通过观察、度量得到的性质，而且可以揭示这些性质之间的内在联系，有利于我们对几何图形的进一步研究。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）