一道抛物线试题的解答与推广

卢恩良

1 试题呈现

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=x-2与抛物线C交于A，B两点.

（1）求△FAB的面积；

（2）过抛物线C上一点P作圆M：（x-3）2+y2=4的两条斜率都存在的切线分别与抛物线C交于异于点P的两点D，E.证明：直线DE与圆M相切.

本题是典型的抛物线多动点问题，结合直线与圆的位置关系进行考查，对学生逻辑推理能力和数学运算能力有较高的要求.直线与圆锥曲线综合问题，常规方法是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，将几何条件代数化进行求解，但往往求解复杂，运算繁琐.

因抛物线方程的特点，对于抛物线多动点问题，我们常采用设点法，利用抛物线的两点弦方程简化计算.本文主要对试题第（2）问进行解答.

2 试题解答

思路分析：虽然P，D，E三点都在抛物线上运动，但点D和E的运动都是由点P引起的.因此，只要确定好了点P，点D和E相应也会确定，切线PD和PE也能确定下来. 如此看来，我们应该想办法借助于点P来表示直线DE方程，然后计算圆心M（3，0）到直线DE的距离等于半径即可证得此题.

抛物线上两点弦方程：已知抛物线y2=2px（p>0）上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AB方程为2px-（y1+y2）y+y1y2=0.

一般地，我们称此方程为抛物线上两点弦方程，证明过程略.

改编试题2 已知抛物线C：y2=4x，圆M：（x-t）2+y2=1（t>0）.过抛物线上一動点P作两条斜率都存在的切线分别与抛物线交于异于点P的两点D，E.是否存在实数t，使得直线DE与圆M相切？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由.