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解题教学应在学生“卡壳处”下功夫

2023-08-11何雪冰

中学数学研究 2023年3期
关键词:卡壳定点椭圆

何雪冰

近期,笔者在高三复习中选用了一道解析几何题,试题的难度适中,但学生们的得分情况让人大跌眼镜,与之前的预想大相径庭.本文是笔者对该题教学的点滴思考,与大家分享.

1 试题呈现

(济南市2022年1月高三学情调研检测第22题)已知P为圆M:x2+y2-2x-15=0上一动点,点N-1,0,线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q.

(1)求点Q的轨迹方程;

(2)设点Q的轨迹为曲线C,过点N作曲线C的两条互相垂直的弦,两条弦的中点分別为E,F,过点N作直线EF的垂线,垂足为点H,是否存在定点G,使得GH为定值?若存在,求出点G的坐标;若不存在,说明理由.

2 考题分析

该题第(1)问考查椭圆的定义和简单的平面几何性质;该题第(2)问考查直线与椭圆的位置关系,通过对H点的分析可以发现,点H在一个定圆上,从而将问题转化为研究直线EF经过一个定点,该定点需要自行分析问题发现,我们暂且把这种类型的问题称为“隐藏定点”问题,这种类型的问题在高考中时常出现.本题考查学生逻辑推理能力、数学运算能力,考查方程的思想、同构的思想、转化与化归思想.

学生在解答此题时容易卡在以下几点处:(1)未能预知直线EF过定点,导致无从下手;(2)已经求出点E,F坐标,但无法求出直线EF方程;(3)未能梳理清晰算理,不断地绕弯路,导致耗时太久、解题失败.

3.1 解法探究

评注:该解法避开求直线EF的方程,利用两条直线与椭圆相交的平等关系得到两个同构式,由此转化为二次方程根与系数关系,轻松求得直线EF的截距与斜率的关系,从而得到定点,大大简化了运算与思维过程.此解法给人一种耳目一新的感覺.

4 感悟心得

在解析几何教学中,经常遇到学生列出式子解不下去的情形,教师应该多反思平时教学时是否关注学生所需要的,是否过问学生卡壳处在哪里,是否用“显然”、“易得”等代替引导学生挖掘卡壳点、突破卡壳点.因此,教师在解题教学中应多在学生卡壳处下功夫,多钻研,帮助、引导学生真正解决问题,解决真问题.解析几何中的问题探究无穷尽,需要师生坚持不懈的探索与反思!

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