对数平均不等式的六种新颖证明及其应用

四川省温江中学(611130) 张 君

1. 对数平均不等式

2. 六种新颖证明

如图1 所示, 容易验证直线y=x是曲线y= shx与曲线y= thx在x= 0处公共切线, 以及当x∈(0,+∞) 时,y= shx为凸函数(因y′′= shx＞0),所以曲线y= shx在其切线y=x上方,即x＜shx(x＞0).y= thx为凹函数(因), 所以曲线y= thx在其切线y=x下方,即thx＜x(x＞0). 故(7)式得证.

图1

评析根据函数的凹凸性,利用曲线与切线的位置关系证明不等式,这是切线法证明不等式的思路.

3. 在2022 年高考题中的应用