关于解三角形的一点困惑

华南师范大学附属中学(510630) 周建锋

一、问题的提出

谈到解三角形,这是三角函数中重要的一个模块,是三角与几何相结合的一个经典案例,无论是高考还是实际生活中的应用,都是经久不衰的热点话题. 有关解三角形的文章数不胜数,但多数集中于解题研究或者思维方法等方面的讨论,对确定一个三角形的基本条件及其背后的理论依据却少有人提及. 文[1]提到了在已知两边及一边对角时,用正弦定理求解和用余弦定理求解之间的等效性,文[2]提到了用方程的思想来求解三角形,文[3]讨论了正余弦定理的独立性,但论述不够完整,应当由正余弦定理的6 个公式中的任意2个,都能推导出其余的4 个公式. 在数学教育越来越关注学生核心素质的时代,对理论的深入探索也应当受到大家的关注.

从解方程的角度而言,用正弦定理和用余弦定理解三角形的等效性如何? 三角形的三条边三个角,共有6 个变元,需要有6 个独立的方程才能解出. 我们知道至少要知道3 个变元值(三边、两边一角、两角一边)才能解出三角形,因而除了三个内角和为180°,还需要两个独立的方程. 而三角形的正弦定理、余弦定理分别有3 个等式,它们都是可以各自独立推导出来的,它们之间是否有内在的逻辑关系,是否意味着只有两个独立的等式,其余的都可以由其中的两个等式推导出来? 这些问题一直困扰着我们,让我们来一一揭开它们的神秘面纱.

二、正弦定理、余弦定理的等效性

(一)已知两边及一边对角时,用正余弦定理求解是否等效?

例如ΔABC中,已知角B(锐角),边b,c,求边a. (当角B为直角或钝角时,三角形不可能有两解,不在讨论之列.)

(二)已知两边及夹角时,用正余弦定理求解是否等效?

(三)已知三边时,用正余弦定理求解是否等效?

(四)已知两角一边时,用正余弦定理求解是否等效?

例如ΔABC中,已知角A,B,边a,求边b,c.

此时用正弦定理求边最快捷, 但用余弦定理也能求解:已知A,B,则角C也已知,由两式相加, 可得a=bcosC+ccosB. 同理,b=acosC+ccosA,两式联立即可求得b,c.

至此,我们得知,在求解三角形时,无论用正弦定理还是用余弦定理, 均可求解. 只是某些情形下(如已知两角及一边)用正弦定理更快捷,在某些情形下(如已知三边或两边及夹角)用余弦定理更快捷,在某些情形下(如已知两边及一边对角)用正、余弦定理均较为快捷.

三、正弦定理、余弦定理的独立性

通过对正、余弦定理等效性的分析,让我们确信,正、余弦定理的六个公式之间是有逻辑关系的,下面我们来论证这一点.

(一)由余弦定理的两个公式导出正余弦定理其余公式

(二)由正弦定理的两个公式导出正余弦定理其余公式

(三)由余弦定理的一个公式和正弦定理的一个公式导出正余弦定理其余的公式

四、结束语

从前面的论述可以看出: 在求解三角形时,用正弦定理或用余弦定理是等效的;正余弦定理中的六个公式,由其中的两个公式即可导出其余的四个公式,也即只有两个公式是独立的. 所以,我们在解三角形时,在理论上更加明确: 给出三角形的三个条件,再结合内角和为180°,所有正余弦定理公式中选择其中的两个,即可解出三角形. 我们引导学生在理论上站在一个更高的起点,对解三角形的问题就有一个更加清晰的认识,这对进一步提升学生的数学核心素养有十分重要的意义.