素养导向下对非对称韦达问题的解法探究

福建省南平市高级中学(353000) 应丽珍 江智如

1 问题提出

平面解析几何是借助解析式进行图形研究的几何分支,它依托平面坐标系,通过代数语言认识曲线的性质,利用代数方法解决几何问题,在高考中常以压轴题形式出现,突出区分与选拔功能. 在探索定点与定值一类问题中, 我们常利用韦达定理求解有关x1,x2或y1,y2的对称式问题, 如等,通常转化为形式进行求解. 但对于x1,x2或y1,y2的非对称式,无法直接利用韦达定理求解,考生无从下手,造成失分,甚为可惜. 为此,本文在素养导向、能力为重的原则指导下,从不同思维层次与能力水平,归纳总结非对称韦达问题的有效解题思路与方法,借他山之石,帮助考生感悟解析几何中蕴含的数学思想与方法,落实“一核四层四翼”的要求[1].

2 概念界定

如果把多项式f(x1,x2) 中的两个变元x1、x2交换位置后,所得结果仍与原式相同,即f(x1,x2) =f(x2,x1),则称f(x1,x2)为关于x1、x2的对称多项式,简称对称式[2]. 若f(x1,x2)̸f(x2,x1),则称f(x1,x2)为关于x1、x2的非对称多项式,简称非对称式. 本文探究的非对称韦达问题界定为:“利用韦达定理求解非对称式的一类问题”.

根据非对称式的结构, 笔者将非对称式归纳为五种类型[3]: (i)x1=λx2或y1=λy2; (ii)λx1y2=µx2y1;(iii)λx1+µx2+s= 0 或λy1+µy2+s= 0; (iv);(v) 圆锥曲线第三定义k1·k2=λ. 解题的策略是对表达式进行化简处理,转化为能够利用韦达定理求解的对称式,有助于发挥培养学生综合应用数学知识观察问题、分析问题和解决问题能力[1]的育人作用.

3 策略探究

3.1 类型1: x1 =λx2 或y1 =λy2 形式

3.2 类型2: λx1y2 =µx2y1 形式

图1

评析本试题第(2)小问探索直线过定点的问题,这类问题的解题思路通常是依托直线的斜截式方程,利用韦达定理进行化简消参,化简过程是求解的困难之处,能够考查考生数形结合思想和运算求解能力. 考生根据直线PA,PB方程的联立,消参得到表达式: 3y1(x2-3) =y2(x1+3). 由于等式两边的系数不同,无法直接利用韦达定理求解,所以配凑转化为对称式,再利用韦达定理化简求解,得到最终结果.整个求解过程全面考查解析几何中解决问题的通性通法,对考生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题能力有较高要求,体现课标中不断提高实践能力,提升创新意识的理念[4].

3.3 类型3: λx1+µx2+s=0 或λy1+µy2+s=0 形式

评析本试题第(2)小问通过关系,得到x1+2x2=3 非对称式,符合类型3 结构,于是根据类型3 的解题策略,配凑得到2(x1+x2)2-9(x1+x2)+9+x1x2=0对称式,利用韦达定理化简得到关于k的一元二次方程,最终求出直线l的斜率,考查考生化归与转化思想和运算求解能力. 这类问题的思路是从对称式入手,将非对称式配凑成一元二次方程,依托一元二次方程相关知识进行求解,能够考查考生基本数学素养、思想方法与能力[1]. 同时引导学生通过实例了解解析几何的背景知识与内涵,通过直观想象和代数运算,形成解决几何问题思路,掌握几何问题的通性通法[4],提高解决几何问题的关键能力.

3.4 类型4:形式

评析本试题第(2)小问考查双曲线的几何性质和利用解析几何思想方法解决几何问题的能力. 考生通过联立动直线,化简得到交点M的坐标,再依据类型3 的解题策略配凑对称式,得到最终结果. 这类问题的思路是消元化简,以分式多项式为载体,考查考生扎实的运算求解能力,体现解析几何的通性通法,对基础性知识进行深入考查,加强教学与考试的衔接,促进考生数学综合素养的提升.

3.5 类型5: 圆锥曲线第三定义k1·k2 =λ 形式

评析本试题第(2)(i)小问考查为定值问题,可以利用圆锥曲线第三定义,把比值转化为4kAM·kBM,通过斜率的定义,转化为类型4 求解,考查化归与转化思想. 同时本试题将圆锥曲线定义与斜率的相关概念有机结合, 重基础,重知识点的自然综合,重分析问题的能力和数形结合等数学思想方法的考查,将能力立意放在突出位置,为考生充分发挥水平提供广阔空间. 类型5 实际上是类型4 的推广与延伸,能够引导考生把握研究对象的数学特征,感悟通性通法的数学原理和蕴含的数学思想[4].

4 在高考中的应用

5 结语

非对称韦达问题的本质是化归与转化思想,我们可以依托韦达定理构造互化公式,将非对称式结构转化成对称式结构处理,探索问题解决之道. 波利亚(George Polya)认为:“中学数学教育的根本目的是‘教会学生思考’”[5]. 在日常教学过程中,教师可以引导学生在认知及实践活动中发展思考力,将对称式韦达定理与非对称式韦达问题之间的关系理解透彻[1],并依据学生的认知水平设计“精致练习”[6],通过曲线方程、代数变形、和积关系转换等方法,让学生在“润物细无声”[7]中掌握非对称韦达问题的通性通法,为学生展示能力、发挥水平提供广阔的平台[8],促进数学素养和关键能力的提升.