“回味”中整合 “整合”中比较 “比较”中发展——以“鸡兔同笼”为例谈版本对比、方法选择

浙江省义乌市北苑小学 郑健儿

一、起源：在“变脸”中反思

笔者执教“鸡兔同笼”一课数次，每执教一次，就会有新的体会。不同的解题方法发展不同的核心素养。那么，怎样的解题方法才是最好的呢？笔者听过一位教师执教六年级“鸡兔同笼”一课，执教教师在课中从列表法出发，渐渐深入，经过画图法，提及假设法，最后到达方程法。整个过程行云流水，下课铃响，学生久久不肯离去，全场师生意犹未尽。课后，对于这一场景的回味促使笔者慎重审视“鸡兔同笼”问题的价值所在。

（一）重视课堂效率，忽视解题策略

“鸡兔同笼”问题原文为今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？从解题的角度而言，这个问题可以有诸多有趣的解法，如方程法、假设法、列表法等。很多教师的做法是考虑到课堂只有40分钟，便将多种解题策略直接进行优化，只教授、训练学生假设法。

（二）关注解题方法，漠视思想方法

“鸡兔同笼”问题蕴含着丰富的数学思想，如方程、假设、化归、数形结合、枚举、建模等。当然，数学思想和解题方法同样有着潜移默化的对应关系，比如，枚举的思想与列表法、数形结合的思想与画图法、方程的思想与方程法，等等。教师如果一味地关注解法的优化，漠视数学思想方法的渗透，或者在渗透数学思想方法上用力均匀，就会导致课堂设计的立足点不突出。

（三）追求知识达成，懈怠思维训练

“鸡兔同笼”问题经历了千年的探究，其解题策略、数学思想在训练不同年龄段的学生的思维能力上有其独特的作用。如教师只在六年级教学“鸡兔同笼”问题，就会不可避免地出现过度追求对知识的掌握、学生的思维能力得不到有效发展的现象。

反思以前在五年级教学“鸡兔同笼”问题时出现的现象，笔者提出自己的几点困惑：

1.解题方法多样，应如何选择？

2.数学思想方法丰富多彩，应如何取舍？

3.四年级初学这个知识后，对五、六年级的后续学习有什么作用？

二、定位：在比较中融合

针对教学中出现的问题，教师该如何改进教学，如何定位这一内容的教学价值呢？笔者认为，要先从教材的分析入手。关于“鸡兔同笼”问题的编排，笔者选择了不同版本的教材进行比较。

（一）教材比较找共性

北师大版：北师大版数学教材在五年级上册安排了“鸡兔同笼”问题作为“尝试与猜测”的内容。教材在例题的解答过程中呈现了3种不同的表格形式，依次是逐一列表法、跳跃列举法、居中列举法。教材让学生在猜测、尝试和调整的过程中，认识到在解决此类问题时，最先想到的是列表枚举法，然后逐步发展到假设法。学生通过观察和思考，从中发现规律，获得解决问题的一般策略。

人教版：人教版数学教材在四年级下册安排了“鸡兔同笼”问题作为“数学广角”的内容。教材的编排从猜测到列表法，逐步延伸到假设法，还提出了“抬脚”法，体现了解决问题的探究过程和解决问题策略的多样性。教材注重的是学生的学习基础，体现的是解决问题策略的多样性，发展的是学生的思维能力。

苏教版：苏教版数学教材在六年级下册安排了“鸡兔同笼”问题作为“解决问题的策略”的内容。教材先以“租船”问题作为载体，在之后的练习中出现了“鸡兔同笼”问题，两者的思想是一致的。教材在例题的解答过程中，着重介绍了画图法和列举法，并引导学生思考“还可以用什么方法找出答案？”，可见其用意更多的是关注学生解题的方法和策略。而后，在练习中，依据“鸡兔同笼”问题，教材有意识地引导学生在画图法的基础之上，用列表假设法尝试进行解答。很显然，这种编排注重的是让学生在画图的过程中感悟鸡头、兔头、鸡脚、兔脚的变化规律，从而找到解决问题的办法。

通过比较，我们不难发现，从表面上看，解决此类问题方法多样，但实际上，教材是要借助“鸡兔同笼”这个载体，让学生采取画图、猜测、列举的方法，经过不断地探索，发现规律，感悟基本的数学思想和方法，发展学生的思维能力。

（二）融合提炼定目标

虽然方程法比画图、列表等方法要快捷、简便，但是，教师要发掘的是其中的教学价值、育人价值。因此，教师不能仅关注“鸡兔同笼”问题的知识价值，还应深入聚焦到学生的能力发展上。因此，笔者融合、提炼各版本数学教材的编排意图，确定了如下教学目标及重难点：

学习目标：

（1）经历尝试、列举（填表）、调整、发现的过程，培养学生有序思考的习惯和对尝试起点的敏感度；

（2）沟通列表、画图与算式之间的联系；

（3）培养学生对多种方法的有效选择意识；

（4）渗透有序思想、极端考虑策略及数形结合意识。

学习重点：合理选择解决策略的意识。

学习难点：建立列表、画图与假设之间的有效沟通。

三、思想：在实践中丰实

（一）突显假设的思想方法

1.在无序中萌发

教师直接出示问题：鸡和兔共8只，鸡和兔各有几只？抓住“鸡+兔=8”的等量关系，让学生猜，然后尝试算总脚数。经过“无序”思考，学生在这种猜测中体验到“假设”这一思想方法。

2.在有序中推进

教师将教学价值聚焦到“有序”数学思想方法的渗透上，让学生体会这些都是“假设”的原型。

【教学片段】

（1）出示问题

师：除了鸡和兔共8只外，现在老师增加一个条件“它们的脚一共有26只”，接下来，我们就去算一算在哪一种情况下，总脚数刚好是26只呢？

（2）思考计算起点

师：说一说，你想从哪组数据出发开始计算？还有不同的起点吗？

（3）小组合作，投影反馈（一一列举，折中列举）

呈现的方法1：从0只鸡、8只兔开始试，或者从8只鸡、0只兔开始试。

呈现的方法2：折半（4，4）尝试法。

（4）沟通联系

“鸡0只、兔8只”这种起点情况，在数学上称作“极端现象”，考虑极端情况是数学中又一常用的研究方法，有时会让你有意想不到的发现！

（二）选择合适的解决方式

1.在多样的方法中体会解题策略

从解题的角度而言，这一问题有一系列的方法适用于四年级学生，如画图法、列表法、假设法、面积法等。教师应让学生体会解题策略的多样性，并尊重学生的个体差异性，允许学生选择适合自己的解题方法。

2.在最优的方法中体会思想方法

在多种解题策略中，假设法的算式形式相对而言优势更大。但是，对算式的理解是个难点。因此，教师要考虑：假设法的思维起点在哪里？怎样将列表法、画图法与假设法进行沟通联系？

（三）提升学生的思维品质

1.在完整的思考中积累问题策略

学生通过回顾学习过程，反思“猜想→验证→调整”的整个过程，得出在解决如“鸡兔同笼”这种问题时，需要运用“有序”这一数学思想方法，做出合理的“假设”，选择合适的解题策略的结论。

2.在类似的情境中构建问题模型

“鸡兔同笼”现象只是这一问题的原型，生活中有很多类似的问题情境，如“龟鹤问题”“大小和尚分馒头”等。能找到这些问题中“鸡”的脚数和“兔”的脚数，那么，“鸡兔同笼”问题模型就清晰了。因此，在进行练习巩固时，教师要让学生多阅读、理解题意，巧用多种策略来解题，建构问题模型，发展学生的思维能力。

四、发展：在梳理后延伸

（一）适合的才是最好的

教师应将“鸡兔同笼”解法的难度与学生现有的知识水平相结合。在教学中，教师可让低年级学生选择画图法，借此渗透数形结合的思想，还可以让其选择列表法，渗透枚举与假设的思想；让中年级学生选择假设法，渗透假设的思想，或者用面积法开拓视野；让高年级学生考虑方程法，渗透方程的思想，加快解题的速度。其实，即使在同一个年龄层次，不同的学生也会表现出不同的思维层次。教师可根据实际学情采用不同的方法，因地制宜。

（二）突出的才是闪亮的

“鸡兔同笼”问题蕴含着丰富的数学思想方法。从教育的角度来看，目标培养锁定的数学思想方法当然也不是随意确定的，教师应结合解题方法和学生的可接受水平综合进行考虑，做出适当的突出与淡化。笔者在教学中考虑到数学思想方法有主次关系，故将假设法无限放大，其次是数形结合法，然后是极端思想、有序思想，等等。介于这样的突出和弱化，学生在课堂上可以知晓教师教学的重点，让重点的数学思想方法在课后得到更有效的延伸。

（三）发展的才是进步的

“鸡兔同笼”问题的教学过程应是一个由表及里、由浅入深的过程，整个过程大致可分为三个阶段：四年级——结构特征认识阶段；五年级——方法运用成熟阶段；六年级——综合训练、思想运用及概括阶段。这三个阶段可成为教学过程的一个有机整体，体现教学螺旋式上升的过程。唯有如此，学生才能从数学学科的教学中获得多方面的涵养，在发展对世界的感受、体验、欣赏和创造等能力的同时，不断丰富和完善自己的生命世界，发展自我意识。

数学知识是系统性的、有紧密联系的。数学来源于生活，又服务于生活。学生作为社会中的个体，不仅需要学习知识，还要锻炼自己的思维能力，让思维得到适合的运用、突出的展现、有效的发展。