一类二次非线性递推数列的通项公式和上下界估计

广东省深圳中学 阮 禾

1 问题起源

上述引例是复习数列时,学生问笔者的一道题．这是一类比较特殊的数列.事实上,题目中的常数项-2是解题的难点,因此本题的突破点在于如何把-2消解掉．

我们考虑如下代换:

通过验证可知上述an是满足题目的一个解,又根据原数列的递推公式可知该数列有且仅有一个解,因此上述解即为满足题目的全部解．

2 主要结果

在前述引例的基础上,笔者进行了推广,得到如下定理:

①

下面对p进行分类讨论.

情形三,p<0．

由此迭代,得到

=……

mn+1=2nlns-tn+1.

于是

yn+1=emn+1=s2ne-tn+1．

②

3 应用

证明：这是情形三中p=-1,y1=1的情况,利用情形三中的公式,可得

利用mathematica符号计算软件计算数值s约为s=1.502 836 801 049 756 499 75……

4 解题心得