统领设计，适时渗透，凸显核心

陈棉驹

笔者所在地区推进初中数学渗透数学思想方法的教学实践，经过多年推广取得了一定的成效，相当部分教师已能自觉运用数学思想方法开展教学。2022年6月，笔者参加区里一所初中的高效课堂评估活动，其中一位青年教师执教的课“多边形内角和与外角和（第1课时）”（北师大版数学教材八年级下册）备受好评。这节课教学设计巧妙，教学中自然而又适当地渗透和呈现了转换与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法，培养了学生抽象能力、几何直观、推理能力等数学核心素养，达成了较好的教学效果。

然而由于教师对于数学思想方法的核心理解不够到位，对其关键要素把握不够准确，导致数学思想方法的教学未能深入开展。为推进渗透数学思想方法教学的进一步深化，本文将对该节凸显数学思想方法的优质课作简要叙述和点评，对部分教学的处理提出改进建议，并对数学思想方法教学如何走向深入提出思考。

一、凸显数学思想方法教学的课例切片分析

环节1：课前回顾

教师引导回顾四边形内角和的探究方法，通过连接对角线将四边形分割为两个三角形，为后续多边形分割为三角形提供了思路和方法的类比对象。

环节2：课堂探究

活动1：探究多边形内角和。教师让学生自主探究五边形的内角和，学生自然地从一个顶点出发连接两条对角线，将五边形分割为三个三角形，从而得出五边形内角和为3×180°=540°。

活动2：探究其他的分割方法。学生经过独立思考和小组讨论，给出了将五边形分割为三角形的其他方法，教师结合图形归纳分割方法为从顶点出发、从边上一点出发、从里面一点出发、从外面一点出发（如图1至图4）。学生展示分割的图形后，教师用几何画板演示，并提问是否还有其他分割方法，学生回答应该还有其他的方法。

活动3：探究n边形的内角和。从五边形推广至六边形、七边形，直至n边形，通过表格呈现计算内角和的式子，学生分析内角和与边数关系的规律，得出多边形内角和公式。

活动4：对应练习。①九边形内角和是？②一个多边形内角和是900°，它是边形？

教学改进建议一

此环节教师运用转化思想指引学生探究多边形内角和，将未知的、复杂的多边形问题转化为已知的、简单的三角形问题，通过不同的分割方法（分割是转化思想指导下的具体操作），让学生明确问题解决的关键——将多边形问题转化为三角形问题，为之后特殊平行四边形的学习、几何问题的解决提供了有益的经验。然而，将多边形分割为三角形虽然是问题解决的关键，却不是转化思想的核心，转化思想的核心是将新知转化为已知，将复杂转化为简单，将高维转化为低维。对本问题而言，三角形的内角和为180°是已知的，四边形的内角和为360°同样是已知的，探究多边形（边数大于4）内角和时，将多边形转化为三角形和四边形的组合（如图5），这种分割方法不仅是可行的，更有助于提醒学生关注转化的核心，是有价值的。目前分割方法只关注了转化的形式，却忽略了转化的本质。

活动2中，学生经历独立思考、小组讨论，教师归纳总结，得到将五边形分割为三角形的四种方法，培养了学生分类讨论的意识。然而，教师教学时忽略了对于分类标准的讨论，也没有分析四种分割方法（即分类的四种结果）在逻辑上是否不重不漏。分类是在分类标准指导下进行的，只呈现分类结果而缺乏对分类标准的讨论，是目前不少课堂在渗透数学思想教学时的常见问题。对本问题而言，分类标准可以是点与多边形的位置关系，平面内的点只有在多边形的顶点、边上、内部以及外部四种情况，所以分割方法就只有四种，其他分割只是图形的变化，并没有本质的区别。建立符合逻辑的分类标准以指导分类，这样分类才能不重不漏。

经历图形分割后，活动3将几个特殊多边形的内角和计算式子以表格形式呈现，行列的对比分析有助于找到内角和与边数之间的规律，再推广拓展至n边形，通过图形分割寻找数量关系，体现以形助数的思想方法。然而，数形结合的本质应该是，对同一问题可以从数和形两个维度认识和理解，通过数形的转换和结合，使得对该问题的认识更加深刻。在本问题中，通过连线将多边形分割为三角形，如果从一个顶点出发（如图1），由于相邻两个顶点的连线是边，而非对角线，因此连接的对角线数量是n-2，从而分割成的三角形个数是n-2，因此n边形的内角和即为

（n-2）×180°。如果从多边形内一个点出发（如图3），n边形可以分割为n个三角形，内角和为n×180°，再减去中间的周角360°，则n边形的内角和为（n-2）×180°。结合图形分析或推导出边数n和公式中n-2的逻辑联系，从形和数两个维度，对多边形内角和形成更全面、更深刻的理解。

环节3：典型例题

如图6，在四边形ABCD中，已知∠A+∠C=180°，猜想∠B和∠D的关系。

利用多边形内角和公式求出四边形内角和是360°，再减去已知的∠A与∠C之和，即可得结果∠B+∠D=180°。

例题来源于教材，是对多边形内角和公式的简单运用，进而得出一个结论：如果四边形有一组对角互补，那么另一组对角也互补。

环节4：议一议

剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？学生通过思考、画图（如图7）等具体操作后，利用多边形内角和公式解决。

教学改进建议二

议一议的问题来源于教材，原来编排在探究正多边形内角之后，教学中将其提前，作为典型例题之后的一个探究性问題，这样的安排使内容衔接更为连贯。学生自主解决或与同伴交流，对问题进行分类讨论，得到了三种剪切的结果，培养了思维的发散性。然而，对于思维严谨性和全面性的培养，还是略有欠缺。问题的关键如同前文提到的分割多边形，只讨论了分类的结果，却没有提出符合逻辑的分类标准。在本环节中，教师可以在学生得出分类结果后提出问题：还有其他的剪角方式吗？如果有请画出来，如果没有请说明理由。通过问题迫使学生进一步思考，反思其中的分类标准。教材将问题设置为议一议，不只讨论如何解决，更要讨论为什么这样解决，在表达、倾听、质疑、答疑中，提升学生的数学表达素养。

本问题分类的标准可以是剪切线与长方形交点的位置，即剪切线过两条边、剪切线过一条边一个顶点、剪切线过两个顶点，因此只有三种情况，分类不重不漏。

环节5：探究正多边形的内角

教师提问：能不能求得正五边形的每个内角？

学生回答可以先求出五边形内角和，再根据正多边形内角相等的性质，将内角和除以5，从而求得每个内角的度数。

最后推广出正n边形的每一个内角为。

教学改进建议三

问题源于教材，直接提问有利于集中学生的注意力，调动思维，解决问题。然而，由于问题在逻辑上存在跳跃，学生只能被动地解决问题，而无暇思考问题从何而来。在本问题中，教师可以利用问题串引导学生进一步深入思考。

教师：已知如何求多边形内角和，那么如何求每一个内角？（不要求学生回答，只是引起学生思考，同时体现思考问题的顺序，从整体到部分）例如任意五边形的内角能求出吗？

学生：不能。

教师：为什么？

学生：任意五边形每个内角不一样。

教师：怎样的五边形才能求出内角？

學生：正五边形。

教师：为什么？怎么求？

本课的两个探究蕴含着特殊与一般的数学思想，探究多边形的内角和体现了从特殊到一般的问题探究策略，探究正五边形的内角体现了特殊化的思想。多边形是抽象的、一般化的，难以直接进行研究，因此从具体的、特殊的五边形开始，探究如何将五边形问题转化为三角形问题，探究多边形内角和的度数与边数的关系，并逐渐拓展到六边形、七边形，最后推广一般化为n边形。对特殊情况的分析越透彻，一般化的推广就越顺利。而关于任意五边形和正五边形性质的思考，是让学生感受特殊化思想的一个很好切入点。任意多边形不具备的性质，通过边的特殊化，会得到内角相等的性质，即条件的特殊化会导致性质的特殊化，这个经验对于之后特殊平行四边形等的学习将有所帮助。

教学环节中还有对应练习、知识归纳、知识巩固、达标检测等环节，本文从略。

二、关于进一步深化数学思想方法教学的思考

1.提炼主要数学思想方法，统领教学设计

教材呈现的主要是问题和知识，教师一般也是围绕两者来进行教学设计，通过问题探究提炼知识，通过问题解决运用知识。而从知识到能力，从能力到学科素养，需要数学思想方法作为桥梁。为进一步深化数学思想方法教学，可以提炼该节课中蕴含的对问题探究、解决具有策略引领作用的数学思想方法，并从数学思想方法的视角，进行课堂教学设计。探究多边形的内角和，运用从特殊到一般的思想方法，从特殊的、具体的五边形开始，明确研究对象后，进一步思考研究的思路和方法。未知的是五边形内角和，已知的是三角形和四边形内角和，考虑运用转换与化归思想将五边形问题转化为三角形问题，具体的操作方法是分割（数学抽象为画线）。为了探究多边形内角和这个数量规律，借助图形分割的方法，其中蕴含着“以形助数”的数学思想。因此，本课的设计应以特殊与一般思想为主线，以转化和数形结合思想为重要辅助来进行教学设计。

2.适时渗透数学思想方法，贯穿教学过程

教学过程中应适时凸显相应的数学思想，一般而言，在新知探究中渗透数学思想，在解题应用中运用数学思想，在归纳提炼中显化数学思想。在探究多边形内角和时，渗透了转化、分类讨论、数形结合等思想方法。在例题和练习中主要渗透了分类讨论思想，在归纳时显化了问题解决关键的数学思想——转化。教师可将多边形内角和问题（未知），转化三角形内角和问题（已知），转化是数学思想（写在线下），具体方法是分割（写在线上），本节课要解决的问题、解决的思想、解决的方法就清晰地呈现出来。

3.凸显数学思想方法核心，促进教学深化

教师对数学思想方法的各要素应认识到位，教学时要凸显其核心，才能让学生理解数学思想方法的本质。转化思想的核心是将新知转化为已知，将复杂转化为简单，将高维转化为低维。转化为三角形只是一个方向，转化为四边形也未尝不可，当然，从向最简单转化、向更具有普遍适用性转化而言，转化为三角形是更合适的选择。分类讨论思想的渗透应该包括分类讨论的必要性、分类的标准、分类的结果、结果的讨论等，教学时不能只限于呈现分类的结果。数形结合不仅是以形助数或以数辅形，而是对同一个问题从形和数两个维度进行分析理解，寻求其中数与形的联系。对于多边形内角和问题的探究，既有图形分割，又有数式规律的探索，正是利用数形结合进行数学思想方法渗透的良好契机。

责任编辑 罗 峰