特殊与一般思想“特”解选填题
2023-08-02冼虹雁
冼虹雁
问题是数学的心脏.那么解题的思想方法就是数学的灵魂.数学家波利亚把一般化、特殊化及类比并列称为“获得发现的伟大源泉”.这里的“一般化”和“特殊化”就是数学的特殊与一般思想.特殊与一般的辩证思想往往贯穿于整个解题过程之中，一般问题特殊化（具体化）能使我们把问题认识得更加全面，而将特殊问题一般化（抽象化）则能使我们认识问题更加深刻.一般寓于特殊之中.一般成立，其特殊也会成立；特殊不成立，其一般也不会成立.因此，当选填题的结论或题设中的信息暗示答案是一个定值（或范围）时，可以把题中变化的不定量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点等）进行准确、快速地解答，真正实现小题不大做.本文结合一些典型高考题和模拟题，试图在特殊与一般思想解选填题的“特”上，做一番剖析．
一、特殊值
例1. （2023·安徽六校教育研究会高三年级入学测试·7）已知向量 ， 的夹角为60°的单位向量，若对任意的x 1·x 2∈（m，+∞），且x 1
A .［ e 2，+∞）
B .［ e ，+∞）
C . 1 e ，+∞
D . 1 e ， e
方法1： 因為 · = ｜·｜ · cos 60°=1×1× 1 2 = 1 2 ，
所以 · = （ · ）2 = 2-2 · + 2 =1．
因为对任意的x 1·x 2∈（m，+∞），且x 1
则x 1 ln x 2-x 2 ln x 1 所以 ln x 2 x 2 - ln x 1 x 1 < 1 x 2 - 1 x 1 ，即 ln x 2-1 x 2 < ln x 1-1 x 1 ， 设f（x）= ln x-1 x ，即f（x）在（m，+∞）上单调递减. 又x∈（0，+∞）时，f′（x）= 2- ln x x2 =0，解得x= e 2， 所以x∈（0， e 2），f′（x）>0，f（x）x∈（0， e 2）上单调递增；x∈（ e 2，+∞），f′（x）<0，f（x）在x∈（ e 2，+∞）上单调递减，所以m≥ e 2.故选 A ． 方法2： 因为对任意的x 1、x 2∈（m，+∞），且x 1 当m= 1 e 时，不妨设x 1=1，x 2= e ，即 1· lne-eln 1 1- e <1，排除 C、D ； 当m= e 时，不妨设x 1=3，x 2=4， 即 3 ln 4-4 ln 3 3-4 =4 ln 3-3 ln4=ln 34- ln 43= ln 34 43 <1，排除 B.故选A ． 点评： 方法1通过整理不等式，构造函数研究其单调性，可得答案.难点是将不等式转化为两边有相同结构的“同构”式，进一步构造函数得到：当x 1 例2. （2023·大湾区第一次联考·8）设数列{a n}的前n项和为S n， a 1=1，且2S n=a n+1-1 （n∈ N *）. 若对任意的正整数n， 都有a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1成 立，则满足等式b 1+b 2+b 3+…+b n=a n的所有正整数n为 （ ） A. 1或3 B .2或3 C .1或4 D .2或4 方法1： 由2S n=a n+1-1①，所以2a 1=a 2-1 ，a 2=3． 又2S n-1=a n-1 ②，①－②得2a n=a n+1-a n， a n+1 a n =3（n≥2），且 a 2 a 1 =3， 所以数列{a n}为首项是1，公比是3的等比数列，所以a n=3n-1． 由a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1， 得b n+31b n-1+32b n-2+…+3n-1b 1=3n-n-1……③ 则b n+1+31b n+32b n-1+…+3nb 1=3n+1-n-2……④ ④-③×3，得b n+1=2n+1． 又b 1+b 2+b 3+…+b n=a n得b 1=a 1=1，所以b n=2n-1，n2=3n-1． 令f（n）= n2 3n-1 ，则有f（n）=1，又f（1）=1，f（2）= 4 3 ，f（3）=1， 当n≥3时f（n+1）-f（n）= （n+1）2 3n - n2 3n-1 = 2n（1-n）+1 3n <0， 所以当n≥4时f（n） 方法2： 由a 1=1且2S n=a n+1-1，易知a 1=1，a 2=3，a 3=9.再由a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1，不難得到b 1=1，b 2=3，b 3=5.因为b 1=a 1，b 1+b 2+b 3=a 3，所以n=1或n=3． 点评： 方法1通过求数列{a n}、｛b n｝的通项公式并求和，虽然在讨论方程n2=3n-1的整数解的时候可以代入选项检验，但对思维严谨性的要求较高，且耗时费力.若有“遇到困难找特殊”的解题意识，从特殊值入手，则可使问题峰回路转，快速获解.尤其是在做单选题时，可参考选项，将特殊值法和排除法结合起来排除一些选项，余下的一个即为正确答案． 二、特殊角 例3. （2022·全国Ⅱ卷·6）若 sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2 cos α+ π 4 sin β，则（ ） A . tan （α-β）=1 B . tan （α+β）=1 C . tan （α-β）=-1 D . tan （α+β）=-1 方法1： 由 sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2 cos α+ π 4 sin β得： sin α cos β+ cos α sin β+ cos α cos β- sin α sin β=2（ cos α- sin α） sin β， 即 sin α cos β- cos α cos β+ cos α cos β+ sin α sin β=0， 即 sin （α-β）+ cos （α-β）=0，所以 tan （α-β）=-1.故选 C ． 方法2： 取β=0，得 sin α+ cos α=0，此时 tan （α+β）= tan （α-β）= tan α=-1，排除 A、B ； 取α=0，得 sin β= cos β，此时 tan （α+β）=1， tan （α-β）=-1，排除 D .故选 C ． 点评： 本题考查了三角函数的恒等变形，而运用特殊角检验，避免了繁琐的恒等变形.若题中涉及求字母的值或范围，但结论又不受字母取值的影响，此时通过观察字母数据的特殊性，取特殊值求解，可达到简化运算、快速求解的目的． 三、特殊图形 例4. （2023·河南省平许济洛高三第二次质量检测·10）在 △ABC中，点E为AC的中点，AF =2FB ，BE与CF交于点P，且满足BP =λBE ，则λ的值为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 方法1： 如图，因为点E为AC的中点，AF =2FB ， 由AP =AB +BP =AB +λBE =AB+ λ（AE -AB ）=（1-λ）AB +λAE = 3（1-λ） 2 AF + λ 2 AC ，因为F，P，C三点共线，所以 3（1-λ） 2 + λ 2 = 3-2λ 2 =1，解得λ= 1 2 .故选 B ． 方法2： 如图，构造等腰直角△ABC并建系，易知BE，CF所在直线分别为y=x和y=- 1 3 x+2，联立得P 3 2 ， 3 2 ，故BP = 1 2 BE ，所以 λ= 1 2 ． 点评： 方法1是结合平面向量的基底法，看似简捷，实际上有一定的难度：不仅要熟练掌握向量的运算，还要找准解题方向——将条件BP =λBE 向AP =xAF +yAC 的形式靠拢，再利用三点共线x+y=1的性质解题，不易操作.方法2有三个亮点——不仅把△ABC “特”成直角三角形，还“得寸进尺”的“特”成了等腰直角三角形，并建系.通过特殊图形的构造——直角三角形（平行四边形可以构造矩形，甚至正方形），既可以巧妙借助直角三角形的性质以及三角形相似等几何知识来解决，还能引入平面直角坐标系，从而使向量的线性运算与数量积转化为向量的坐标运算，运算起来更为快捷方便，而且不失一般性，提高解题效益． 四、特殊数列 例5. （2023·吉林省吉林市高三第二次调研·5）已知｛a n｝是等比数列，下列数列一定是等比数列的是 （ ） A .{ka n}（k ∈ R } B .{a n+a n+1} C .{a n+1} D .{a n+a n+1+a n+2} 方法1： 设等比数列｛a n｝的公比为q， 当k=0时，ka n=0，数列{ka n}不是等比数列； 当q=-1时，a n+a a+1=0，数列{a n+a n+1}不是等比数列； 当时a n=-1，a n+1=0，数列{a n+1}不是等比数列； 因为 a n+1+a n+2+a n+3 a n+a n+1+a n+2 = （a n+a n+1+a n+2）q a n+a n+1+a n+2 =q，由等比數列的定义可知： 数列{a n+a n+1+a n+2}是等比数列，故选 D ． 方法2： 当k=0时，显然 A 错.假设数列1，2，4，8，…，代入选项检验，易得答案 D ． 点评： 在破解某些数列客观题时，经常可以借助特殊数列（比如常数列、较为简单的具体数列等）的引入，化抽象为具体，直接利用特殊数列的通项、求和及相关性质来处理一般性的数列问题，从而回避一些抽象数列的计算、证明等问题，有效淡化过程，简化程序． 五、特殊函数 例6. （2023·百师联盟高三一轮联考·12·多选题）已知f（x）是定义在 R 上的函数，且满足f（3x-2）为偶函数，f（2x-1）为奇函数，则下列说法正确的是 （ ） A .函数f（x）的周期为2 B .函数f（x）的周期为4 C .函数f（x）关于点（-1，0）中心对称 D .f（2023）=0 方法1： 因为f（3x-2）为偶函数，所以f（3x-2）=f（-3x-2）， 所以f（x-2）=f（-x-2），则f（x）=f（-x-4）， 所以函数f（x）关于直线x=-2对称， 因为f（2x-1）为奇函数，所以f（2x-1）=-f（-2x-1）， 所以f（x-1）=-f（-x-1）， 所以f（x）=-f（-x-2），所以函数f（x）关于点（-1，0）中心对称，故 C 正确， 由f（x）=f（-x-4）与f（x）=-f（-x-2）得f（-x-4）=-f（-x-2）， 即f（x-4）=-f（x-2）， 故f（x-4）=f（x），所以函数f（x）的周期为4，故 A不正确，B 正确； f（2023）=f（506×4-1）=f（-1）=0，故 D正确.故选BCD ． 方法2： 由f（3x-2）为偶函数知f（x-2）也为偶函数， 又f（x） 向右平移2个单位 f（x-2），易知f（x）关于直线x=-2对称， 由f（2x-1）为奇函数知f（x-1）也为奇函数， 又f（x） 向右平移1个单位 f（x-1），易知f（x）关于点（-1，0）对称， 设f（x）= cos π 2 x，易知 BCD 正确． 点评： 本题以抽象函数为载体，考查函数的性质，对逻辑思维能力要求较高.方法1通过赋值变换得到函数的性质，是该题的通性通法，不仅转化难度较高，还要求考生较熟练掌握关于函数对称性、周期性的常见题型和结论.比如有：（1）若f（x）图像关于直线x=α对称，则f（a+x）=f（a-x）或f（2a-x）=f（x）；（2）若f（x）图像关于点（a，b）对称，则f（a+x）+f（a-x）=2b或f（2a-x）+f（x）=2b；（3）若函数f（x）图像有对称轴直线x=a和直线x=b，则周期T=2 b-a ；（4）若函数f（x）图像有对称中心（a，0）和（b，0），则周期T=4 b-a .（5）若函数f（x）图像有对称轴直线x=a和对称中心（b，0），则周期T=4 b-a ． 方法2中，因为仅横坐标的伸缩并不影响图像的对称性，所以将题设转化为f（x-2）为偶函数，f（x-1）为奇函数，再结合图像变换，巧妙、直观的得到f（x）的性质，避免了抽象函数的反复赋值，最后构造特殊函数，验证选项，简单明了，是该题的最优解.解决此类问题的关键是根据题设选取简单的基本初等函数，如果该函数既有对称轴又有对称中心，不妨考虑下正弦（或余弦）型函数是否符合． “退一步海阔天空.”华罗庚曾告诉我们：“善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.”这就是以退求进的思想.通过上述实例的解析，容易看出巧用特殊解答计算型选择题省时、省力，很容易快速、简捷获解，可以收到事半功倍的效果.因此，大家应在平时的学习中，有意识地加强这方面的训练，大胆搞“特殊”，往往可以达到“小题小做”或“小题巧做”的目的，节约时间，提高效率． 责任编辑 徐国坚
