作图解题，化繁为简

张兴平

图是高中数学的生命线，会用数学语言描述物理情景，会用数学思维解决物理问题，这是物理学科高考对考生其中的一个能力要求.作图解题是解决物理问题构建物理模型的一种科学思维方法，作图解题往往简便快捷，本文举例说明.

【例1】  图1是一种智能减震装置的示意图，轻弹簧下端固定，上端与质量为m的减震环a连接，并套在固定的竖直杆上，a与杆之间的智能涂层材料可对a施加大小可调节的阻力，当a的速度为零时涂层对其不施加作用力．在某次性能测试中，质量为0 .5m的光滑环b从杆顶端被静止释放，之后与a发生正 碰；碰撞后，b的速度大小变为碰前的λ倍、方向向上，a向下运动2d时速度减为零，此过程中a受到涂层的阻力大小f与下移距离s之间的关系如图2．己知a静止在弹簧上时，与杆顶端距离为4 .5d，弹簧压缩量为2d，重力加速度为g．求λ的值.

解析一：  a环碰后受重力、弹力及阻力这三个力作用.作f-s图和弹力F 弹-s图.

阻力做功大小如图3阴影面积W f=mgd

弹力做功大小如图4阴影面积W 弹=3mgd

依动能定理：

mg·2d-Wf-W 弹=0- 1 2 mv2 a

由此得v a=2 gd  ①

又光滑环b做自由落体运动，设碰前瞬间b的速度大小为v 0，有：

v2 0=2g 4 .5d  ②

a、b碰撞过程，系统动量守恒：0 .5mv 0=－0 .5mv b+mv a ③

联立①②③并将v b=λv 0代入，解得：λ= 1 3 .

解析二：  如图5所示，AB=CD，当a环下落x时，弹力BD与阻力CD相加之和等于AD，即是说a环下落过程弹力与阻力之和恒定为2 mg ，方向竖直向上.那么重力、弹力及阻力的合力大小为mg，方向竖直向上.

依动能定理：-mg·2d=0- 1 2 mv2 a，由此得v a=2 gd ①

联立①②③并将v b=λv 0代入，解得：λ= 1 3 .

【思路总结】 如果研究的力与位移有线性关系，那么作力与位移的图像，图像面积的意义是变力做功的大小.a环碰后受的弹力及阻力均与位移有线性关系，所以作f-s图和F弹-s圖就可以简易算出它们做的功大小.

【练习题1】 如图6所示为应用弹簧弹力水平放置的弹射器，弹簧左端与枪管固定相连，右端与弹丸接触不相连，枪管总长度为2d，弹簧原长为2d，弹丸质量为m，可看作质点，开始在弹簧长度为d的位置上，释放弹簧时，弹丸受到的弹力大小为1000 mg（在弹性范围内），设弹丸运动过程中受到的阻力大小与运动位移成正比关系，到枪口时的阻力大小为20mg ，求弹丸运动到枪口时的速度大小.

解析： 水平方向弹丸受弹力F及阻力f这二个力作用.作F-s图和f-s图.

弹力做功大小如图7阴影面积W 弹=500mgd.

阻力做功大小如图8阴影面积W f=10mgd.

依动能定理：W 弹- W f= 1 2 mv2-0

由此得v=7 10gd .

【例2】 如图8所示，某理想气体（分子力不计），体积由v膨胀到v′.如果压强不变，对外做功大小为W 1，

传递热量的值为Q 1，内能变化为 Δ U 1；如果温度不变，对外做功大小为W 2，传递热量的值为Q 2，内能变化为 Δ U 2，则（  ）

A .W 1＞W 2，Q 1＜Q 2， Δ U 1＞ Δ U 2

B .W 1＞W 2，Q 1＞Q 2， Δ U 1＞ Δ U 2

C .W 1＜W 2，Q 1＝Q 2， Δ U 1＞ Δ U 2

D .W 1＝W 2，Q 1＞Q 2， Δ U 1＞ΔU 2

答案： B

解析： 作P-v图，如图9所示， A→B等压过程做功W 1大于A→C等温过程做功W 2；B状态温度比C状态温度高所以 Δ U 1＞ Δ U 2；依热力学第一定律可知Q 1＞Q 2 ，所以正确答案是 B.ACD 错误.

【思路总结】 作P-v图，面积的意义表示做功大小，从图中可直观判定做功大小，也可以直观判定温度的高低，从而判定内能变化情况，再应用热力学第一定律判定热量情况.

【练习题2】 一定质量的理想气体经历从状态A→B→C→A过程，在状态A时气体的温度为T 0，压强为3p 0，体积为υ 0，在状态B时气体的温度为T 0，压强为p 0，体积为3υ 0，在状态C时气体的温度为T 0，压强为3p 0，体积为3υ 0，从状态A→B过程中气体等温变化，从状态B→C过程中气体等容变化，从状态C→A过程中气体等压变化，若气体从状态A→B过程中对外做功3p 0υ 0，求从状态A→B→C→A过程中，气体与外界交换的热量大小？

解析： 作P-v图，如图10所示，从状态A→B→C→A，内能不变化，依热力学第一定律可知，热量等于做功大小.气体从状态A→B过程中对外做功3p 0v 0，从状态B→C过程不做功，从状态C→A过程中外对气体做功6p 0v 0，所以从状态A→B→C→A，外对气体做功3p 0υ 0，气体放出热量3p 0υ 0.

【例3】 如图11所示，质量为m A可看作质点的A物体，初速度为υ 0飞上在光滑水平面上静止质量为m B的B物体左端， A与B间的动摩擦因数为μ，则木板B至少多长，A才不至于从B上滑落？

解析： 作v-t图像，如图12所示，t 1时刻A与B达到共同速度υ 1，如果A恰好停在B的右端，此时木板长度为最小，阴影面积为所求木板长度L大小.L= v 0 2 t 1 ①

又依动量定理：μm Agt 1=m Bv 1－0②

－μm Agt 1=m Av 1－m Av 0 ③

联立①②③解得L= m Bv2 0 2μg（m A+m B）

【思路总结】 作v-t图像可以直观算出相对位移的大小.

【练习题3】 如图13所示，传送带以v的速度匀速运动．将质量为m的物体无初速度放在传送带上的A端，物体将被传送带运送到B端，已知物体到达B端之前已和传送带相对静止．求在传送物体过程产生的热量大小.

解析： 作v-t图像，如图14所示，t 1时刻物体与传送带达到共同速度v

物体相对传送带的位移大小就是阴影面积S= vt 2 .

所求热量Q=fs= fvt 2

而依动量定理ft=mv－0，由此得Q= 1 2 mv2

【例4】如图15，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道.甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有

A． 甲的切向加速度始终比乙的大

B．甲、乙在同一高度的速度大小相等

C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度

D ．甲比乙先到达B处

答案： BD

解析： 由受力分析及牛顿第二定律可知，甲的切向加速度先比乙的大，后比乙的小，故A错误；当甲乙下降相同的高度h时，由机械能守恒定律得： mgh= 1 2 mv2即：v= 2gh ，可知， B 正确；由υ-t图像可知， C错误，D 正确.

C、D  答案判定，画速率与时间图像如下：

甲、乙轨道运动总路程相等，甲下滑切向加速度逐渐变小，乙下滑切向加速度逐渐变大，运动时间内图像面积应该相等，作v-t图像，图17、图18甲面积大于乙面积不符合实际，图16甲面积可能等于乙面积，所以 C 、D 答案正确的是D答案.

【思路总结】 轨道运动路程相等，切向加速度大小的比较又可判定，那么作v-t图像可以直观判定运动路程相等时运动时间的长短.

【练习题4】 一颗子弹以水平速度v 0穿透一块在光滑水平面上迎面滑来的木块后，二者运动方向均不变.设子弹与木块间相互作用力恒定，木块最后速度为v，则（  ）

A .v 0越大，v越大

B .v 0越小，v越大

C .子弹质量越大，v越大

D .木块质量越小，v越大

答案： AC

解析：  子彈穿透木块过程中，作用力不变，两者都做匀减速运动，子弹的位移与木块的位移之和等于木块的厚度保持不变，作v-t图像，在t 0时刻子弹穿透木块，两条速度线与t 0竖直线包围面积表示木块的厚度大小.若质量不变，加速度也不变，当子弹的初速度v 0越大时，如图19所示，子弹速度线上移，为保证包围面积不变，则时间线必需向左移动，由图可知 A 正确， B 错误；子弹的质量越大，加速度越小，初速度一定，速度线斜率变小，如图20所示，时间线必需向左移动，故 C 正确；木块的质量越小，加速度越大，初速度不变时间线必需向右移动，才可以保证包围面积不变，如图21所示，故 D 错误.

责任编辑  李平安