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作图解题,化繁为简

2023-08-02张兴平

广东教育·高中 2023年7期
关键词:木块弹力阻力

张兴平

图是高中数学的生命线,会用数学语言描述物理情景,会用数学思维解决物理问题,这是物理学科高考对考生其中的一个能力要求.作图解题是解决物理问题构建物理模型的一种科学思维方法,作图解题往往简便快捷,本文举例说明.

【例1】  图1是一种智能减震装置的示意图,轻弹簧下端固定,上端与质量为m的减震环a连接,并套在固定的竖直杆上,a与杆之间的智能涂层材料可对a施加大小可调节的阻力,当a的速度为零时涂层对其不施加作用力.在某次性能测试中,质量为0 .5m的光滑环b从杆顶端被静止释放,之后与a发生正 碰;碰撞后,b的速度大小变为碰前的λ倍、方向向上,a向下运动2d时速度减为零,此过程中a受到涂层的阻力大小f与下移距离s之间的关系如图2.己知a静止在弹簧上时,与杆顶端距离为4 .5d,弹簧压缩量为2d,重力加速度为g.求λ的值.

解析一:  a环碰后受重力、弹力及阻力这三个力作用.作f-s图和弹力F 弹-s图.

阻力做功大小如图3阴影面积W f=mgd

弹力做功大小如图4阴影面积W 弹=3mgd

依动能定理:

mg·2d-Wf-W 弹=0- 1 2 mv2 a

由此得v a=2 gd  ①

又光滑环b做自由落体运动,设碰前瞬间b的速度大小为v 0,有:

v2 0=2g 4 .5d  ②

a、b碰撞过程,系统动量守恒:0 .5mv 0=-0 .5mv b+mv a ③

联立①②③并将v b=λv 0代入,解得:λ= 1 3 .

解析二:  如图5所示,AB=CD,当a环下落x时,弹力BD与阻力CD相加之和等于AD,即是说a环下落过程弹力与阻力之和恒定为2 mg ,方向竖直向上.那么重力、弹力及阻力的合力大小为mg,方向竖直向上.

依动能定理:-mg·2d=0- 1 2 mv2 a,由此得v a=2 gd ①

联立①②③并将v b=λv 0代入,解得:λ= 1 3 .

【思路总结】 如果研究的力与位移有线性关系,那么作力与位移的图像,图像面积的意义是变力做功的大小.a环碰后受的弹力及阻力均与位移有线性关系,所以作f-s图和F弹-s圖就可以简易算出它们做的功大小.

【练习题1】 如图6所示为应用弹簧弹力水平放置的弹射器,弹簧左端与枪管固定相连,右端与弹丸接触不相连,枪管总长度为2d,弹簧原长为2d,弹丸质量为m,可看作质点,开始在弹簧长度为d的位置上,释放弹簧时,弹丸受到的弹力大小为1000 mg(在弹性范围内),设弹丸运动过程中受到的阻力大小与运动位移成正比关系,到枪口时的阻力大小为20mg ,求弹丸运动到枪口时的速度大小.

解析: 水平方向弹丸受弹力F及阻力f这二个力作用.作F-s图和f-s图.

弹力做功大小如图7阴影面积W 弹=500mgd.

阻力做功大小如图8阴影面积W f=10mgd.

依动能定理:W 弹- W f= 1 2 mv2-0

由此得v=7 10gd .

【例2】 如图8所示,某理想气体(分子力不计),体积由v膨胀到v′.如果压强不变,对外做功大小为W 1,

传递热量的值为Q 1,内能变化为 Δ U 1;如果温度不变,对外做功大小为W 2,传递热量的值为Q 2,内能变化为 Δ U 2,则(  )

A .W 1>W 2,Q 1<Q 2, Δ U 1> Δ U 2

B .W 1>W 2,Q 1>Q 2, Δ U 1> Δ U 2

C .W 1<W 2,Q 1=Q 2, Δ U 1> Δ U 2

D .W 1=W 2,Q 1>Q 2, Δ U 1>ΔU 2

答案: B

解析: 作P-v图,如图9所示, A→B等压过程做功W 1大于A→C等温过程做功W 2;B状态温度比C状态温度高所以 Δ U 1> Δ U 2;依热力学第一定律可知Q 1>Q 2 ,所以正确答案是 B.ACD 错误.

【思路总结】 作P-v图,面积的意义表示做功大小,从图中可直观判定做功大小,也可以直观判定温度的高低,从而判定内能变化情况,再应用热力学第一定律判定热量情况.

【练习题2】 一定质量的理想气体经历从状态A→B→C→A过程,在状态A时气体的温度为T 0,压强为3p 0,体积为υ 0,在状态B时气体的温度为T 0,压强为p 0,体积为3υ 0,在状态C时气体的温度为T 0,压强为3p 0,体积为3υ 0,从状态A→B过程中气体等温变化,从状态B→C过程中气体等容变化,从状态C→A过程中气体等压变化,若气体从状态A→B过程中对外做功3p 0υ 0,求从状态A→B→C→A过程中,气体与外界交换的热量大小?

解析: 作P-v图,如图10所示,从状态A→B→C→A,内能不变化,依热力学第一定律可知,热量等于做功大小.气体从状态A→B过程中对外做功3p 0v 0,从状态B→C过程不做功,从状态C→A过程中外对气体做功6p 0v 0,所以从状态A→B→C→A,外对气体做功3p 0υ 0,气体放出热量3p 0υ 0.

【例3】 如图11所示,质量为m A可看作质点的A物体,初速度为υ 0飞上在光滑水平面上静止质量为m B的B物体左端, A与B间的动摩擦因数为μ,则木板B至少多长,A才不至于从B上滑落?

解析: 作v-t图像,如图12所示,t 1时刻A与B达到共同速度υ 1,如果A恰好停在B的右端,此时木板长度为最小,阴影面积为所求木板长度L大小.L= v 0 2 t 1 ①

又依动量定理:μm Agt 1=m Bv 1-0②

-μm Agt 1=m Av 1-m Av 0 ③

联立①②③解得L= m Bv2 0 2μg(m A+m B)

【思路总结】 作v-t图像可以直观算出相对位移的大小.

【练习题3】 如图13所示,传送带以v的速度匀速运动.将质量为m的物体无初速度放在传送带上的A端,物体将被传送带运送到B端,已知物体到达B端之前已和传送带相对静止.求在传送物体过程产生的热量大小.

解析: 作v-t图像,如图14所示,t 1时刻物体与传送带达到共同速度v

物体相对传送带的位移大小就是阴影面积S= vt 2 .

所求热量Q=fs= fvt 2

而依动量定理ft=mv-0,由此得Q= 1 2 mv2

【例4】如图15,游乐场中,从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道.甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处,下列说法正确的有

A. 甲的切向加速度始终比乙的大

B.甲、乙在同一高度的速度大小相等

C.甲、乙在同一时刻总能到达同一高度

D .甲比乙先到达B处

答案: BD

解析: 由受力分析及牛顿第二定律可知,甲的切向加速度先比乙的大,后比乙的小,故A错误;当甲乙下降相同的高度h时,由机械能守恒定律得: mgh= 1 2 mv2即:v= 2gh ,可知, B 正确;由υ-t图像可知, C错误,D 正确.

C、D  答案判定,画速率与时间图像如下:

甲、乙轨道运动总路程相等,甲下滑切向加速度逐渐变小,乙下滑切向加速度逐渐变大,运动时间内图像面积应该相等,作v-t图像,图17、图18甲面积大于乙面积不符合实际,图16甲面积可能等于乙面积,所以 C 、D 答案正确的是D答案.

【思路总结】 轨道运动路程相等,切向加速度大小的比较又可判定,那么作v-t图像可以直观判定运动路程相等时运动时间的长短.

【练习题4】 一颗子弹以水平速度v 0穿透一块在光滑水平面上迎面滑来的木块后,二者运动方向均不变.设子弹与木块间相互作用力恒定,木块最后速度为v,则(  )

A .v 0越大,v越大

B .v 0越小,v越大

C .子弹质量越大,v越大

D .木块质量越小,v越大

答案: AC

解析:  子彈穿透木块过程中,作用力不变,两者都做匀减速运动,子弹的位移与木块的位移之和等于木块的厚度保持不变,作v-t图像,在t 0时刻子弹穿透木块,两条速度线与t 0竖直线包围面积表示木块的厚度大小.若质量不变,加速度也不变,当子弹的初速度v 0越大时,如图19所示,子弹速度线上移,为保证包围面积不变,则时间线必需向左移动,由图可知 A 正确, B 错误;子弹的质量越大,加速度越小,初速度一定,速度线斜率变小,如图20所示,时间线必需向左移动,故 C 正确;木块的质量越小,加速度越大,初速度不变时间线必需向右移动,才可以保证包围面积不变,如图21所示,故 D 错误.

责任编辑  李平安

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