平抛运动很重要 掌握规律解题妙

华兴恒

平抛运动是高中物理力学中非常重要的内容，也是各地高考的热点之一.同学们要想学好平抛运动这部分知识，必须努力做到以下几点.

一、熟知平抛运动的处理方法

平抛运动可以分解为两种分运动：水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.这样处理的依据是：

1.假设法——利用假设法归纳出平抛运动确实是两个分运动的合运动.

（1）假设物体刚抛出的瞬间不受重力的作用，则物体将会沿水平方向以初速度v 0做匀速直线运动.

（2）假设物体没有初速度v 0，则物体将会在重力的作用下做自由落体运动.

事实上，上述两方面的假设是不可能的，做平抛运动的物体既具有初速度v 0，又要在重力的作用下运动.因此做平抛运动的物体将参与两个方面的运动.

2.通过观察平抛演示仪演示平抛运动在竖直方向上确实是自由落体运动.

通过观察演示得出A、B两小球同时落地这一现象，说明小球A在抛出后与B球在竖直方向上是同规律的自由落体运动.

二、弄清楚轨迹上某点的速度方向与质点所发生的位移方向不同

轨迹上某点的速度是指物体在此点的合速度，同理位移也是指合位移.求解它们的方法是矢量合成的平行四边形法则.

【例1】 以抛出点为坐标原点O，以v 0方向为x轴正方向建立如图1所示的直角坐标系.设物体从O点运动到A点的时间为t，初速度v 0已知.求图1中A点的速度v的大小和方向及位移s的大小和方向.

解析： A点的速度v是v x= v 0及v y = gt的合速度，则v= v2 0+（gt）2 ，方向是沿A点的切线方向O′A.设O′A与x轴的夹角为α，则有 tan  α = gt v 0

而A点的位移s是x = v 0t及y= 1 2 gt2的合位移，则

s= （v 0t）2+（ 1 2 gt2）2 ，方向从O→A.

设OA与x轴的夹角为β，则有 tan β= gt 2v 0 .

温馨提示： 显然α≠β，且有 tan β= 1 2  tan α.说明该点的速度方向与位移方向不一致，做题时千万不能混淆，这也是试题设计中最为常见的“陷阱”之一.

三、掌握平抛运动中常求量的方法

1.求飞行时间的方法

（1）已知抛出点的高度h，可得t =  2h g  ，由此说明t仅取决于抛出点的高度.

（2）已知轨迹上某点v的大小和方向求时间t.

通过上述分析不难求出t= v sin α g .

同理，已知轨迹上某点s的大小和方向，即可求出t=  2s· sin β g  .

2.求初速度 v  0的方法

（1）已知抛出点，以抛出点为坐标原点建立坐标系，由轨迹方程y= g 2v2 0 ·x2，可得v 0 =  g 2y  ·x.

（2）利用轨迹上某一点A的位移s的大小和方向求v 0.

方法： 利用三角关系转换成横、纵坐标： x=s· cos β，y=s· sin β. 將上式代入轨迹方程，可得v 0=  g 2s· sin β  ·s· cos β.

【例2】 如图2所示，倾角为θ、长为l的斜面，在其顶点A水平抛出一石子，它刚好落在斜面的底端B点，则抛出石子的初速度v 0为（  ）

A.cos θ  gl 2 sin θ

B.cos θ  2gl  sin θ

C.sin θ  gl 2 cos θ

D.cos θ  gl  sin θ

按照上述方法很容易求解，请同学们完成，答案选 A .

（3）已知平抛物体落地时v的大小和方向，求v 0.

方法： 因v是合速度，可作平行四边形如图3所示，则由三角关系可得v 0=v cos θ，t= v sin θ g .

【例3】 物体以一定的初速度v 0沿水平方向抛出，飞出一段时间后，恰沿垂直于斜面方向撞击在倾角为30°的斜面上，撞击时速度大小为 20m/s ，不计空气阻力，则该物体的初速度v 0及飞行时间t是多少？（g =  10m/s2 ）

解析： 利用上述方法容易求得v 0=10 m/s2 ，t= 3 s.

（4）不知道抛出点，只知道轨迹的一部分，利用轨迹上至少三个已知点求初速度v 0.

【例4】 某一平抛运动轨迹如图4所示，已知x 1 = x 2 = a，y 1= b，y 2 = c及g，求v 0.

方法： 设a到b，b到c的时间为T，竖直方向是自由落体运动，一定有y 2 - y 1 = g·T2.

水平方向是匀速直线运动，一定有x 1 = v 0T，x 2 = v 0T，代入已知量联立可求得T=  c－b g  ，v 0= a   c－b g   .

【例5】 在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长l = 1 .25 cm .若小球在平抛运动途中的几个位置如图5中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v 0 =      （用l、g表示），其值是      （取g = 9 .8 m/s2 ）.

解析： 平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，水平分运动是匀速直线运动.由ab、bc、cd等时隔点的距离容易看出竖直方向△s = l，水平位移s = 2l，则△s = aT2，即l = gT2，v 0= s T = 2l   l g   =2 gl ，代入已知数据可求得v 0=  0 .70m/s.

【例6】 （2022全国甲卷）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0 .05 s 发出一次闪光. 某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，

图6 拍摄的照片编辑后如图6所示.图中的第一小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s 1与s 2之比为3 ： 7.重力加速度大小取g=10 m/s 2，忽略空气阻力.求抛出瞬间小球速度的大小.

解析：设s 1对应的水平距离为x，对应的竖直距离为y，则根据平抛运动的特点可知，s 2对应的水平位移也为x，对应 的竖直距离为3y.则有y = 1 2 g（4T）2 = 0. 2 m，s 1 = x2+y2 ， s 2 = x2+（3y）2 .

由 s 1 s 2 = 3 7 可解得x = 0 .032  m .

抛出瞬间小球的速度大小为v 0 = x 4T ，代入已知数据可解得v 0 = 0 .8  m/s .

3.综合问题

【例7】  （2012课标全国卷）如图7所示，x轴在水平面内，y轴沿竖直方向.图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个 小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的.不计空气阻力，则（  ）

A . a的飞行时间比b的长

B . b与c的飞行时间相同

C .a的水平速度比b的小

D . b的初速度比c的大

解析： 小球做平抛运动，在竖直方向上满足h= 1 2 gt2，则可得t =  2h g  ，据此可知选项 A错误、选项B 正确；在水平方向上x = v 0t，即v 0 = x·  g 2h  ，且由图可知h b = h c > h a，x a > x b > x c，则选项 C错误、选项D正确.故应选B、D.

点评： 求解平抛运动问题，须明确平抛运动的下述特点：（1） 飞行时间由高度决定，抛出点离地面越高，飞行时间越长；（2） 水平射程由高度和初速度共同决定，高度越高、初速度越大，水平射程越大.

【例8】 （2014新课标全国卷Ⅱ）取水平地面为重力势能零点.一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等.不计空气阻力.该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为（  ）

A .  π  6

B .  π  4

C .  π  3

D. 5π  12

解析： 设物块的初速度为v 0、质量为m，则根据题意有mgh = 1 2 mv2 0.设物块落地瞬间水平速度分量为v x、竖直速度分量为v y，则根据平抛运动的规律可得v x = v 0、v y = 2gh ，即v x = v y = v 0，所以物塊落地时速度方向与水平方向夹角为  π  4 ，则选项 B正确.故应选B .

【例9】 （2015新课标全国卷Ⅰ）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图9所示.水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h，

发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面的高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v

在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（  ）

A . L 1 2   g 6h  < v < L 1  g 6h

B . L 1 4   g h  < v <  （4L2 1+L2 2）g 6h

C .  L 1 2   g 6h  < v < 1 2   （4L2 1+L2 2）g 6h

D . L 1 4   g h  < v < 1 2   （4L2 1+L2 2）g 6h

解析： 当发射机对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小.由平抛运动规律有 L 1 2 = v 1t，2h = 1 2 gt2，联

立解得v 1 = L 1 4   g h  .

当发射机正对右侧台面的某个拐角发射，乒乓球恰好到达拐角上时，发射速度最大.则由平抛运动规律有 L2 1+（ L 2 2 ）2 = v 2t′，3h = 1 2 gt′2，联立解得v 2 = 1 2   （4L2 1+L2 2）g 6h  ，即速度v的最大取值范围为 L 1 4   g h  < v < 1 2   （4L2 1+L2 2）g 6h  ，则选项 D正确.故应选D .

通过对以上考题的解析大家不难看出，求解有关平抛运动的问题，关键是要抓住平抛运动的特点，熟练地运用平抛运动的规律，则问题很容易获解.

责任编辑  李平安