Wolfram Alpha在常微分方程教学过程中的应用

摘要：常微分方程作为一门重要数学类专业课，具有理论性和应用性强的特点。由于该课程教学偏向于理论，学生在传统的教学模式中容易混淆并感到枯燥乏味。Wolfram Alpha是一款计算知识引擎，囊括了符号运算、科学计算和图像绘制等功能。该文试图通过引入Wolfram Alpha到课程教学中，以求解析解和数值解为例，让复杂的教学过程简单化，调动学生的动手能力，提高学生兴趣，使学生容易掌握知识难点，体会到数学方法的魅力所在。

关键词：Wolfram Alpha 常微分方程 解析解 数值解

中图分类号：G642;O1-4    文献标识码：A

Application of Wolfram Alpha in the Teaching Process of Ordinary Differential Equation

ZHAO Zhiguo

（Henan Institute of Technology， Xinxiang， Henan Province， 453003 China）

Abstract： As an important mathematical course， Ordinary Differential Equation has the characteristics of strong theory and application. Since the teaching of this course is biased towards theory， students are easily confused and bored in the traditional teaching mode. Wolfram Alpha is a computational knowledge engine that includes the functions of symbolic computing， scientific calculation and image drawing. With finding analytical solutions and numerical solutions as and example， this paper attempts to introduce Wolfram Alpha to the teaching of ODE to simplify the complex teaching process， mobilize students practical ability， improve students interest in learning， and enable students to easily master knowledge difficulties and experience the charm of mathematical methods.

Key Words： Wolfram Alpha; Ordinary Differential Equation; Analytical solution; Numerical solution

常微分方程作為数学类专业学生需要学习的一门专业核心课[1-4]，其理论方法是随机微分方程和偏微分方程等后续课程学习的基础，并且已经被应用到自动化、物理、力学、神经科学、经济和金融等学科领域中。为了能够跟随时代的发展，培养出高质量的应用型人才，有必要参照一流本科专业的建设要求对常微分方程课程进行教学改革。在实际问题解决中，如新冠肺炎感染模型感染人数预测、人口增长模型预测、神经元电生理模型动作电位产生机制和机械系统等效力学模型的动态仿真等，都需要对建立相应模型的解的特性进行分析。常微分课程主要针对不同方程模型进行分析，获得相应解的性质[1-4]，从而为实际模型分析提供数学方法。在常微分方程教学内容中，存在有几个难点：第一，方程类型多，方法复杂，同一方程可以用不同方法求解，学生容易对方程和方法混淆，不能深入理解解的性质；第二，对于解的特性，如存在性和唯一性，证明过程繁冗，不能够充分理解证明的原因和目的；第三，部分方程无法取得解析解，需要采用数值计算方法来展示解的结果，而常微分方程主要为理论课，缺乏实践工具，课堂内容不能完整给出。

Wolfram Alpha是著名数学软件开发公司——沃尔夫勒姆公司开发的新一代计算知识引擎，有网页版和手机版。该引擎具有符号运算、数值计算、统计分析和图像绘制等功能，具有方便易用、操作简单和可远程运算的优点。Wolfram Alpha的这些优点，使得在常微分方程课程理论教学中无需计算机就可以引入动手实践，可以极大地提高学生的学习效率，进一步保证教学内容的完整性，提高教学质量。除此之外，Wolfram Alpha的Step-by-step solution（分步计算功能）功能可以详细展示每一步的计算方法和过程，为学生课下计算练习提供了方便。本文选取常微分方程高等教育版（王高雄主编）教材中常见方程类型，讨论Wolfram Alpha在这些方程教学过程中的应用。

1 利用Wolfram Alpha获取线性方程的解析解

对于一阶常系数线性方程，可以使用多种方法，例如常数变易法、化为恰当微分方程和拉普拉斯变换等方法[5-6]。利用Wolfram Alpha不仅可以求得方程的解析解，还可以利用step-by-step solution功能可展示具体解法的过程。除此之外，Wolfram Alpha还提供多种解法。下面将以非齐次方程为例，使用Wolfram Alpha选择不同方法来求解。在Wolfram Alpha中输入y=2x+y，给出了方程类型，即一阶线性常微分方程，除此之外，给出了方程的通解。

对于该方程，Wolfram Alpha提供了多种方法，包括看作线性方程求解、化为恰当方程求解和拉普拉斯变换求解，点击Step-by-step solution可以选择求解方式，并显示出每一步过程。

1.1 当作线性方程求解

将原方程当作线性方程求解时，Wolfram Alpha的具体步骤如下：

令 ，方程等式两端乘以，得

替换，得

根据逆乘积运算法则，上式变为

两端同时积分，得

计算得

，为任意常数。

1.2 拉普拉斯变换求解

采用化为恰当微分方程求解时，Wolfram Alpha的具体步骤如下：

2 利用Wolfram Alpha获取非线性方程的解

2.1 非线性方程的解析解

在常微分方程中，大部分非线性方程解析解不能够求出，利用Wolfram Alpha可以获得部分非线性方程的解，如下面方程

这里是雅可比椭圆函数。

2.2 非线性方程的数值解

Wolfram Alpha除了可以解出线性方程和一些非线性方程外，还可以数值解出一些非线性方程，如满足初始条件的数值解，在Wolfram Alpha中输入Runge-Kutta method， y'' = -2x^2 ysiny， y（0） = 2， y'（0）=1， from 0 to 20， h = .05，將采用龙格库塔方法，以0.05的积分步长数值积分获得区间的数值解，如图1所示。除了获得相应的数值解之外，Wolfram Alpha还提供了对于数学软件Mathematica的程序代码。学生可以直接复制该代码到Mathematica软件来运行，这对于学生学习和应用Mathematica有很大的帮助。

由于在传统课堂中，只能够讲解方程的解析解，对于解到底是什么模样，学生也不清楚，以及解在模型中的意义也就不知道了。Wolfram Alpha的绘图功能展示出的结果更有助于学生理解，学生对于理解解的意义。除了解非线性方程外，对于线性方程，Wolfram Alpha不仅可以给出解析解和数值解，还可以对解进行比较，获得解析解和数值解的误差。例如：于，方程采用4阶龙格库塔方法、步长0.25来计算获得数值解。输入代码为Runge-Kutta method， dy/dx = -2xy， y（0） = 2， from 1 to 3， h = .25。解析解与数值解的误差图在图2中给出。除了这些，Wolfram Alpha还给出了不同数值方法求解方程的误差和效率，如图3所示。这不仅可以让学生清楚解析解和数值解的差异，也让学生能够理解数值解的方法，为以后的数值方法学习打下基础。

通过在课堂上使用Wolfram Alpha软件，可以获得方程的解析解、数值解以及和解有关的信息，尤其是将这些信息图标展示，使学生更容易理解，达到事半功倍的效果。可以说Wolfram Alpha软件的使用，可以很好地扩展课堂内容，提高课堂效率，让抽象的知识形象化，是现代化教学必不可少的软件。

3 Wolfram Alpha课堂教学的应用及意义

常微分方程课堂中主要讲解的是方程的解和方程解的性质。方程类型繁多，解题方法较多，解的性质如存在性和唯一性，证明繁琐。在传统板书教学过程中，会受到课程性质和课堂时间的限制，不能够充分讲解内容[1-4]。学生在学习完该课程，只能够掌握简单类型题目的解题方法，对为何要学习方程的解不清楚。相对于专业计算软件Matlab和Mathematica[1-6]，Wolfram Alpha是计算知识引擎，虽然不能够计算大型运算，但可以通过网页或体积较小的手机软件来实现，具有方便易用的特点，可以求解常微分方程课程中的所有方程，满足日常教学需求。除此之外，Wolfram Alpha还可以给出不同方法计算的每一步过程，不仅可以使学生扎实掌握所学知识，还可以拓展学生的思路。借助于Wolfram Alpha的绘图和数值计算功能，可以演示解的特点，尤其是解的存在唯一性这一重点难学的内容。在课堂教学中引入Wolfram Alpha，可以改变传统教学的枯燥模式，使学生对所学内容的实际应用意义有所认识，从而提高学生的学习兴趣，并且可以改变学习方式，增强学生独立自主学习的能力，有助于学生打下坚实的基础，拓展学生的思路，为后续课程的学习和实践打下基础，对于培养出高质量的应用型人才具有重要意义。

参考文献

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