泰勒有限差分方法数值求解常微分方程

张雨浓　李乐　丁亚琼　张银炎　李东

摘要：本文提出一种新的更高精度的泰勒有限差分公式并且应用于求解常微分方程。这种应用泰勒有限差分公式来求解常微分方程的方法称为泰勒有限差分方法。此外，出于比较的目的，使用欧拉方法求解常微分方程的算法流程也被提及，并且在MATLAB软件平台进行了两组对比性的数值实验。两组对比性的数值实验结果均表明，使用泰勒有限差分方法求解常微分方程的精度要比使用欧拉方法求解常微分方程的精度更高。后续可以应用该方法去开发常微分方程数值求解器的软件。

关键词：常微分方程；泰勒有限差分方法；欧拉方法；精度；数值实验

中图分类号：0241.81 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.05.001

本文著录格式：张雨浓，李乐，丁亚琼，等.泰勒有限差分方法数值求解常微分方程[J].软件，2016，37（5）：01-06

0.引言

在现实生活中人们能够在已有的理论或经验的基础上得到一个问题中变量之间的函数关系，这对于解决这个问题来说是十分重要的，但是在一些相对较为复杂（或者说十分复杂）的问题中，我们是没有办法直接得到这些问题中变量之间的函数关系，然而却能得到这些问题中一些变量以及其导数之间的关系，也即找到一个含有未知函数以及未知函数导数的方程，我们称这个方程为常微分方程。然后我们通过对这个常微分方程进行数值计算来达到了解这个问题的变化规律的目的。

众所周知，研究和揭示客观世界中物质运动变化规律的量与量之间的关系，在人类战胜自然并通过利用自然来促进社会与经济快速发展的过程中起到了十分重要的作用。科学家们总是通过运用常微分方程来研究和揭示客观世界中物质运动变化规律的量与量之间在某种特定的条件下存在的某种内在关系。常微分方程在揭示和研究物质运动变化规律中发挥着十分重要的作用。因此对常微分方程进行深入研究具有一定程度上的实际工程应用意义以及价值。

作为现代应用数学的一个十分重要的分支，常微分方程在现实生活中的许多方面得到了十分广泛地应用。正是这些应用极大的促进了常微分方程的发展，同时也吸引了众多领域（如机器学习、自动化控制以及人工神经网络）的研究者对常微分方程进行研究。在实际工程应用中，我们通常通过对所遇到的问题进行简化来建立常微分方程模型，并通过求解该常微分方程模型以达到了解这个在实际工程中所遇到的问题的变化趋势的目的。然而在许多实际工程应用所遇到的问题中的常微分方程大多无法用解析方法求解出其理论解（或者说解析解），因此对常微分方程的数值解法进行深入研究就显得非常重要以及非常必要。当前，已经有许多数值解法被不同领域的专家学者提出，如欧拉方法、阿当姆斯方法以及龙格一库塔方法。