常微分方程新的可解类型及在经济学中的应用

胡启蒙

摘 要：常微分方程有很多种，而且在初等数学中我们就已经学过。像对数方程、指数方程、三角方程、二次方程等都属于常微分方程的行列。比如我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的常微分方程了。在现实经济生活中，我们将常微分方程和经济紧密的联系在一起，常微分方程的运用的帮助下经济理论的研究取得了很多的进展。尤其是最近几十年，大多经济学家都把经济学与数学结十分紧密的结合起来。利用数学作为辅助的手段，让经济科学和管理科学的研究变得简洁、清晰和精确。

关键词：常微分方程；可解类型；成本和利润核算

常微分方程是代数中最简单但是亦是最重要的一类方程组，常微分方程是我们在解决日常经济生活问题中非常重要的工具，常微分方程的作用也非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到常微分方程来解决研究中的问题。许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成常微分方程，所以常微分方程对于计算数学是极其重要的。遇到问题时，我们需要在已知条件中找出已知数和未知数的关系，并利用已知的关系列出方程，然后进行求解，逐步推出我们需要的未知数的值。

常微分方程式在经济学中的最重要的应用是其在公司成本与利润核算中的应用，成本与利润的常微分方程虽然简单易懂，但是其突破了传统的计算能力，运用计算机的运算能力，在短时间内可以完成人力几天甚至几个月的工作量，是现代科技力量对商业最大的贡献之一。可以说这一方程式在计算机中的运用是商业核算精准化和便捷化的最大保证，带来了现代商业会计核算、审计核算的革命。

数学知识运用到商业是古已有之，但是微分方程在商业计算中的应用，只能计算到资本市场的完全兴起，我们了解的最著名的例子莫过于电《大空头》里几位银行家合作做空资本市场的举动，虽然电影演绎的精彩绝伦，妙趣横生，但是现实中的事实远比电影来的精彩。2007年-2008年之前，john Paulson作为一个籍籍无名的对冲基金经理人，与华尔街精英圈无缘。在他四十岁的时候成立自己的基金公司，经过十年的默默打拼，2003资产规模才达到15亿美元，这在精英云集的华尔街连二流都算不上，当然这是他还没遇上他的同学Paolo Pellegrini之前，2004年10月，两人才正式合伙，虽然Paulson当时只给了Pellegrini一个初级分析师的职位，但是对于毕业于哈佛大学的Pellegrini来说这已经足够了。当第一次Pellegrini向Paulson建议用CDS工具做空美国房地产时，相信Paulson也是惊诧不已的，但是Pellegrini在大量基础研究的基础上，通过大量的模拟计算，说服了自己的老同学同时也是自己雇主的Paulson，Pellegrini向Paulson展示的美国房地产走势图，像一张藏宝图一样展示在他的面前，让他看到了做空美国房地产的美好前景和巨额利润收入。

没有微分方程的大规模运算和Pellegrini精准的分析头脑，把一张市场走势图摆在任何人的面前，他们都无法看到里面蕴藏的巨大财富。Pellegrini作出那张美国房地产走势图被誉为价值“200亿美金”，可想而知。

后来，在现实生活的应用中，人们又发现，往往解决问题并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程组在什么情况下会出现什么类型的解，就能满足一些生产生活的需要了。比如，给定一个方程，我们需要知道该方程在什么情况下存在解，什么情况下不存在解；或者，在给定方程的前提下，能够知道在什么条件下能求出几组通解，而哪些通解是对于我们求出所需特解有价值、有作用的。往往我们现在关注的多是这样的问题，而不仅仅限于寻找微分方程的解上。常微分方程的作用非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到常微分方程来解决研究中的问题。研究常微分方程的新的可解类型，是帮助我们在各个学科中，处理难题，突破难关的重要途径。所以我们需要对常微分方程的新的可解类型进行更深的研究，通过对方程组的解析来促进各个学科的蓬勃发展。

在经济学领域中，分租制和定额制在现代商业公司管理中作为两种最基本的管理模式的根本，受到各种研究者的青睐，要想分清这两种模式那个更加实用高效，必须用到常微分方程的计算方式，这也是数学对现代经济学的巨大贡献之一，计算出了分租制和定额制的优劣之后，现代公司才可以在此基础上选择适合本身的管理模式，才会衍生出现代意义上的国有公司，股份制公司，代理人公司和有限责任公司等各种形式，让我们明白了商业市场的运行子单位是怎样的构成部分。

许多微分方程要求求出方程的近似解，并且保证一定范围内的精确度就可以，人类的科技在不断发展，所需要的精确度也会越来越高，而随着数学学科的进步，能够求出的精确度也会越来越高，才能适应其他学科对于数学手段的需求。寻找常微分方程的新的可解类型是研究微分方程的科学家们、数学家们一直努力的目标。目前，已知的可解类型并不多，在变化众多的方程组中，目前已知的可解类型相比之下，还是屈指可数的，还需要通过大量的研究才能判断和解决其他的可解类型的常微分方程。

结束语：微分方程就是指未知数以导数的形式与已知数产生关系，也就是说，在微分方程中未知数是以导数形式存在的。这样的方程的求解过程可能非常复杂，对于求解的方法要求比较特殊。我们就可以利用微积分的知识求出一些微分方程的近似解。常微分方程的作用非常之多，是我们在解决日常经济生活问题中常用的一种手段。常微分方程的运用在的帮助下经济领域中取得了很大的进步，是企业的很多工作变得简单、清晰，在常微分方程的帮助下人们对经济规律认识精确度有了很大提高。尤其是近年，常微分方程在生活，经济领域的运用也越来越多。常微分方程作为辅助手段，让管理科学和经济科学的研究做到了简洁和精确。著名的数学家华罗庚先生就是将经济数学理论与生产实践活动很好结合的典范。数学方法，特别是常微分方程进入入经济科学的领域，成为了研究和分析社会经济现象与社会经济发展的有力工具。

（作者单位：沈阳师范大学）

参考文献：

[1] 一类新非线性常微分方程的可积判据-汤光宋，潘小群-《Academic Forum of Nan Du：naturalences Edition》-2001；

[2] 关于几类可积型二阶线性常微分方程的若干注记-李云-《黄石师院学报：自然科学版》-1983；

[3] 变系数线性系统的一种求解方法及若干可积类型-黄文纲-《数学的实践与认识》-1983；