“常微分方程”课程教学中大学生实践创新能力培养研究

武力兵　何希勤　郭良栋　屠良平

摘 要 针对“常微分方程”课程教学中存在的问题，在教学实践基础上，通过调整教学内容，改变教学方法，改革考试方式等措施，培养大学生实践创新能力，提高教学质量。

关键词 “常微分方程”课程 教学改革 实践创新能力

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.01.060

Research on Cultivating the Innovative Abilities of College Students in the Teaching of the Course of “Ordinary Differential Equations”

WU Libing， HE Xiqin， GUO Liangdong TU Liangping

（School of Science， University of Science and Technology，Anshan， Liaoning 114051）

Abstract For the problems in the teaching of the course of “Ordinary Differential Equations”， by adjusting the teaching content， the teaching methods， and the measures such as the reform of examination methods， it aims to cultivate the innovative abilities of college students and to improve the quality of teaching based on the practice of teaching.

Keywords course of “Ordinary Differential Equations”； teaching reform； practical and innovative ability

“常微分方程”是高校本科數学类专业的核心基础课程之一，同时也是工科类专业高等数学中的重要学习内容，是一门应用性很强的学科。作为一门具有很强应用特色的基础课程，“常微分方程”的教学中应该突出应用特色，重点培养学生的创新性思维，利用所学知识发现、分析和解决实际问题的能力。然而，部分高校现有的教学内容和课程体系强调的却是应试作用，忽视了这门课程的实际应用作用，导致培养学生以微分方程思想解决实际问题的目标难以实现。因此，突出“常微分方程”课程实践创新能力培养的教学改革是非常必要的，既能扩展学生知识面并提高实践创新能力，又能有效提高教学质量。

1 课程教学现状与不足

（1）教学内容 “重理论，轻应用”。教学中理论教学偏多，缺少教学案例等与实际联系紧密的内容，数学建模思想以及学科前沿知识没有在教学中充分渗透。课堂教学上往往呈现“老师在上面讲，学生在下面记”的情形，这样的教学完全忽视了学生学习的积极性，扼杀了学生的创新意识和创新能力。此外，经调研发现，由于部分微分方程求解方法以及定性分析等内容没有体现在授课内容里，导致部分专业与后续课程有脱节现象，许多有重要应用价值的、不同专业急需的内容，不是被删掉，就是降低了要求。

（2）授课方式单一，灵活性不够。在课堂教学中，学生处于被动地位，被当作知识灌输的对象。教学手段单一，主要采用传统的一支粉笔、一块黑板版书，计算机、多媒体辅助教学只是用来播放教师教学内容的课件，忽略了课堂教学应以学生为中心，应该积极主动地与授课教师一起参与到课堂互动中。另外，课堂教学也面临着学时减少与教学内容不变的矛盾。教学内容的处理不合理，有些定理的证明过程往往是很重要的，但是由于时间关系，教师往往会略去一些复杂的证明，导致学生的掌握一知半解。

（3）考核方式单一，缺乏综合性。考核内容的重点还是一张期末考卷定成绩，总成绩计算的一般做法是，期末卷面成绩占80%，显然这是公平的，但由于学生的主观能动性不够以及学习兴趣偏向应用，从而导致很多人卷面成绩偏低；总成绩中另外的20%，往往是从出勤、作业完成等情况来考核。而事实是，出勤的未必能听进去、听得懂；有的作业虽然完成了，但很难把握是否是真正意义上自己独立完成的，学生实践和创新能力在以试卷考试为主的传统考试中根本得不到体现。因此，如果继续这种考试考核方式，很难进一步提升学生的数学素养。于是，改变这种现状就显得越来越迫切了。

2 “常微分方程”课程改革策略

2.1 调整教学内容，侧重实际应用

大学本科教育的目标是培养学生理论联系实际，解决实际问题能力。常微分方程是一门数学基础课程，内容涉及数学分析，高等代数课程中的知识点。另外，天文学、生物学、控制论、物理学、流体力学等许多近代学科中大量问题都可以利用微分方程来分析和处理。例如三大数学巨匠之一牛顿（Newton）就是利用常微分方程这个有力的数学工具计算出行星绕恒星的运行方式为椭圆形轨道。在现代控制理论中，机器人、倒立摆、飞行器等实际系统在建模的时候都可以归结成带有控制输入的微分系统，通过设计合理的控制器，保证闭环系统稳定运行。相应地，微分系统的求解或定性分析过程，必须借助常微分方程中的基本理论和方法来实现。因此，在授课过程中尽可能多地反映常微分方程在其它学科的渗透与应用，以实际问题作为出发点和着眼点，尽可能减少枯燥繁琐不必要的理论推导，鼓励学生多参加与方程课程相关的实践活动，既培养了学生分析和解决实际问题的能力，同时也激发了学生对这门课程的学习兴趣。

在教学中适当删减理论性偏强，过程烦琐的定理证明，多增加应用性的例题和题目，以案例的形式引入相关知识点，将数学建模思想融入教学过程。例如SIR传染病模型、机械振动中的Duffing 方程、单摆方程、天体力学中的二体问题、电磁振荡中的Vander Pol 方程、生态学中的生物种群模型、数学摆的稳定性问题等这些实际应用型的例子应尽可能多的穿插在教学内容中，以增强背景感，提高学生的积极性和对这门课的兴趣。比如通过Duffing 方程了解桥梁、发动机的振动对安全性的影响， 回顾牛顿定律的数学含义；通过单摆方程认识童年打秋千的道理，通过二体问题明白月亮为什么总是绕地球转，重新体会能量守恒和动、势能转换的基本原理；通过Van der Pol 方程知道电力传输和通讯信号传输中数学的重要作用；通过生物种群模型学习人口预测对国民经济计划的重要性。这样， 学生始终抱着明确的学习目的，为他们增添了学习动力。

2.2 改变教学方法，突出能力培养

传统的教学要求及教学计划都是以课堂抽象知识“灌输”为主体，以课程期末考试“及格”为目标。若要真正提高学生应用微分方程解决实际问题能力，培养科技创新精神，就需要老师彻底更新教学内容的同时，将数学建模思想和科研创新思想融入课堂教学中。在微分方程的教学中，能够利用初等解法求解微分方程的类型很少，大多数微分方程是不能用手工推导的方法给出初等解，这就非常有必要引导学生利用Mathematics、Matlab、Maple等现代计算机数学软件去解较为复杂的微分方程及方程组等问题，来验证一些微分方程的定性理论上求解方法，使学生在的理论水平和实践能力都得到根本的提高。数学软件的使用，能将学生从冗繁耗时的计算中解放出来，同时，数学软件强大的数据分析、误差分析及图形化的显示能极大地提高学生的学习兴趣，提高学生的科学计算能力和动手能力。在课堂教学过程中，注意启发式教学法的运用，用归纳分析和逻辑推理相结合的方法講解基本理论，用模拟科研法及探究问题方法讲授基本方法，适当选一些教学内容采取自学指导教学，或采用课堂讨论或布置课外提高题目等，通过这种形式让学生积极主动地参与课堂教学当中，不仅调动了学生的学习积极性，而且也培养了学生分析问题、解决问题的创造思维能力。

2.3 改革考试方式，推动能力提升

改变传统的期末试卷+平时成绩的考核考试方式，为培养注重理论联系实际，创新能力强的高素质应用型人才，实行下面新的科学合理的考核考试方式。总成绩=⑴期末试卷成绩€？0%+⑵平时小测验（15分）+⑶课后作业（10分）+⑷课后提高（15分）+⑸课堂互动（5分）+⑹出勤率（5分）。其中课后提高和平时小测验所占平时成绩比重较大，也是考试改革的重要举措，具体实施方案如下：课后提高要求在每章的学习过程中，适当找出一些微分方程中具有拓展和创新点的问题留给学生，其目的是提高学生查阅资料和文献能力，培养科研与创新精神，利用现代计算机数学软件去解微分方程及方程组等方面的知识，引导是学生通过学习Matlab等计算机数学软件来验证一些微分方程的理论上的求解方法。最终以小论文形式提交，依据论文理论证明的正确性和数学实验部分的完整性来给予这部分成绩。平时小测验分别就一阶常微分方程的初等解法、高阶常微分方程的求解以及常微分方程的一般理论与定性分析进行测验，根据学生的掌握这部分知识点的程度来给予这部分成绩。

常微分方程”课程教学模式改革的一个重要方面就是如何充实其内容，进行合理的教材处理，引导学生开展学习研究，培养创造能力和创新能力。本文将教学内容、教学方法、考试方式各环节有机结合，形成一套新的教学体系，从而对学生开展研究型学习，培养学生的理论联系实际以及实践创新能力起到积极的推动作用，有效提高了教学质量。

基金项目：辽宁省普通高等教育本科教学改革研究项目：用数学思维方法培养学生创新思维品质的研究与实践——以《常微分方程》课程内容及教学模式改革为例

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