关于一道圆锥曲线问题的解析探究与思考

［摘  要］ 对圆锥曲线综合题开展探究分析，总结解题策略，有助于提升学生的解题能力. 探究时要注重三大环节：过程分析、方法总结、多解探究. 文章结合实例开展圆锥曲线问题的解析探究，总结分步突破的方法思路，并论述解后思考.

［关键词］ 圆锥曲线；证明；分步突破；数形结合

圆锥曲线是高中数学的重点知识，其问题常作为压轴题出现在试卷上，现笔者结合一道典型的圆锥曲线问题开展解析探究以及方法总结.

3. 解后评析

上述求解过程采用了数形结合、分步构建等方法，主要体现在第（2）问的三角形面积关系的证明中，属于数量关系证明问题. 对于该类问题，可以立足问题条件绘制图象，基于问题特点构建三角形面积模型，通过联立整合来推导关系. 具体求解时可以按照如下步骤去剖析.

步骤1：解析问题条件，整合圆锥曲线、几何要素之间的关系，基于位置关系绘制图象.

步骤2：设定坐标，联立圆锥曲线、直线方程，利用韦达定理推导坐标参数之间的关系.

步骤3：结合目标问题构建模型，将所求问题转化为参数问题，如面积关系、线段关系等问题.

步骤4：构建参数条件与问题数式之间的关系，利用函数性质或不等式性质等完成求解过程.

解法拓展，另解探究

上述第（2）问为核心之问，主要考查学生的综合能力. 实际上该问可采用不同思路来突破，除了上述直接构建面积模型、探索关键点坐标外，还可以通过分析关键点的位置关系、三角形的几何特性来求解. 下面进一步探究.

评析 上述证明从三角形的几何特性入手，先确定△MFD为直角三角形且点N为斜边MD上的中点，然后基于线段关系来构建三角形的面积关系. 圆锥曲线问题中常见几何三角形，求解时要注意对三角形特性的分析，包括直角、等边，以及中点、垂足等.

解后思考，教学探讨

圆锥曲线问题是高中数学的重难点问题，往往题设条件众多，类型多样，但解题时可以按照上述三大步骤构建思路. 在此笔者再提出几点建议.

1. 归纳总结问题，形成解题策略

上文以一道圆锥曲线综合题为例开展分步探究，并针对该类问题构建了相应的解题策略，称其为“三步突破法”. “三步突破法”可实现对问题条件的解读建模、整合处理，以及问题的分析运算，是对解题三个步骤的串联构建. 在探究教学中，教师要引导学生感知分步突破解题的优势，帮助学生整合思路，深刻理解解题策略. 同时，教学中教师要注意两点：一是注意拆解问题条件，引导学生思考条件与问题之间的关系；二是解题“分步”时，不仅是解题步骤的分步，还是解题思维的分步，要引导学生理解“分步”的内涵.

2. 拓展解题思路，探索一题多解

探索一题多解是圆锥曲线综合题的重要教学环节，有助于拓展学生的解题思维，帮助学生积累解题经验. 多解探究可分三步进行：一是关注问题特点，总结问题类型；二是总结常规方法，透视切入视角；三是基于关键点和视角拓展解法. 如上文证明三角形的面积关系时，总结了常规的破解方法——建立面积模型，转化为对应数式，基于联合条件来推导数式关系. 而后续拓展探究则从几何视角入手，通过分析关键点的位置关系、三角形的几何特性来推导三角形的面积关系.

3. 探究数形结合，深化模型构建

上文的问题探究，整体上采用了数形结合思想方法，即先挖掘问题条件，解读分析后绘制图象，充分利用直观图象推导关键条件并开展运算. 实际上核心过程有两个：一是图象构建，即以“数”构“形”，挖掘问题条件，整合归纳，包括问题中的位置关系、数量关系、特殊性质等；二是由“形”析“数”，即根据直观图象来分析几何特性（包括三角形的几何特性、圆锥曲线的几何特性），推导隐性条件. 在教学中，教师可根据上述数形结合的两个核心过程来指导学生掌握直观图象、数学模型的构建思路及技巧.

作者簡介：朱新保（1983—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.