加强课程综合关联，落实新课程理念

编者按：为推进中学数学教育教学改革与发展，促进教育工作者理论素养和专业水平的提升，搭建优秀教学交流平台，在中国教育学会中学数学教学专业委员会的支持下，中国数学教育杂志社举办了“2022年度中国数学教育论文评选活动”. 在此次活动中，多篇选题新颖、内涵丰富的文章脱颖而出. 为进一步激发教育工作者的写作热情，并对此次活动中的获奖者表示祝贺，《中国数学教育》杂志将分批次择优刊登“2022年度中国数学教育论文评选活动”中的获奖文章. 同时，欢迎各位读者积极参与“2023年度中国数学教育论文评选活动”.

摘  要：以函数的概念的问题设计和实施为例，就如何理解和准确把握课程综合性，尤其是课堂教学过程中如何围绕核心素养目标加强综合性，从教学情境的选择、教学问题的设定、课堂上对学生的引导、课堂中及时评价反馈等方面加以阐述和说明.

关键词：函数的概念；课程综合关联；数学核心素养

作者简介：李代远（1972— ），男，高级教师，主要从事中学数学教学、教育科研研究.

2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案（2022年版）》（以下简称《方案》）和各学科课程标准. 这是我国全面贯彻党的教育方针，遵循教育教学规律，落实立德树人根本任务，进一步深化教育改革的大事件.

《方案》在义务教育课程应遵循的基本原则中明确提出了要“加强课程综合，注重关联”，要求加强课程内容与学生经验、社会生活的联系，强化学科内知识整合，统筹设计综合课程和跨学科主题学习；要求注重培养学生在真实情境中综合运用知识解决问题的能力；要求强化课程协调育人功能.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）在课程总目标中明确指出，通过义务教育阶段的数学学习，要使学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题. 这既是对数学课程目标的明确规定，也为教师教学提供了清晰的方法和策略. 本文以函数概念的教学为例，进行课程综合关联的教学设计并实施教学.

一、关于函数概念学习的教学案例

函数是数学课程中的重要概念之一. 学生在初次接触函数这个抽象的概念时往往理解起来有些难度，如何解决这个问题几乎是所有数学教师都会面临的难题. 对函数概念这部分内容，《标准》中给出了明确要求：探索简单实例中的数量关系和变化规律；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值；结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论；等等.

针对函数概念的教学，有教师曾设计如下问题.

若[x1=1，x2=3，x3=5，] 依此类推.

（1）[x5，x10]的值是多少？[xn]呢？

（2）以n为自变量，x为变量，写出它们的代数关系式，n和x的取值范围分别是多少？

（3）试在平面直角坐标系中画出表示x与n关系的图象.

以上问题设计看上去比较简单，符合数学知识发展的逻辑，但第一次接触函数概念的学生较难理解，这对教师的课堂教学来说也是个难题. 这种由个别推理到一般的情况，需要学生具备较强的抽象思维能力. 这样的问题设计是以学科知识为本位，不仅很难达到预期的教学效果，还会挫伤学生学习函数的信心，不能更好地落实育人功能.

笔者曾就此问题进行如下设计，取得了较好的教学效果.

例  小明的爸爸为了鼓励小明做家务劳动，规定小明把家里的生活垃圾分類后送到楼下垃圾收集站，第1次奖励小明1枚糖果，第2次奖励3枚糖果，第3次奖励5枚糖果，依此类推.

（1）第5次奖励几枚糖果？第10次呢？第n次呢？

（2）小明得到糖果的数量主要由什么决定？得到糖果的数量x与劳动次数n之间的关系可以用关系式表达吗？除了劳动次数，得到糖果的数量还应该与什么有关系？

（3）小明爸爸的方案能一直持续下去吗？若不能，理由是什么？如果由你来设计奖励方案，你的方案是什么？

教学时，这些设问并不是一次性都展示给学生，而是逐步引导学生去讨论、思考与表达.

教师先把情境材料呈现出来，引发学生展开联想，然后让学生猜测后面会提出什么问题. 学生很容易猜到后面的问题是探讨劳动次数与糖果数量之间的关系.

然后，再把第（1）小题的3个小问一一展示，要求学生思考、讨论. 由于前面对具体次数探讨的铺垫，在出现求第n次奖励情况的问题时，学生能很快得出[xn=xn-1+2，] 经过代数变换得出[xn=1+2n-1]和[xn=][2n-1].

接着，由[xn=2n-1]转入对第（2）小题的探讨. 学生很容易发现糖果数量与劳动次数间的对应关系. 在面对“除了劳动次数，得到糖果的数量还应该与什么有关系？”的设问时，学生相互讨论，说出了应该与劳动质量、态度等因素有关，甚至有的学生试图用数学表达式去表达这些关系.

基于前面对现实问题的探讨，笔者适时展示第（3）小题的设问，仍然由学生讨论、分析、解决. 大家很容易发现“小明爸爸的方案不能一直持续下去”，自然而然地突破了函数的值域和定义域的知识理解难点，也明白了将数学公式应用于现实世界中总是要具备一定的条件和满足一定的限定. 尤其是让学生自己来设计奖励方案时，几乎所有学生的兴趣都被调动和激发了，各种方案伴随着学生的发散性思维、爱劳动的观念、个性化的设计等展示出来. 特别地，有的学生说：“不需要奖励，因为做家务是家庭责任，垃圾分类是社会责任.” 这些意想不到的育人效果，是本节课给笔者的最大感动.

二、教学反思

1. 根据《标准》要求教学

《标准》指出，数学课程要立足培养学生会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界的核心素养. 这是现阶段义务教育数学课程的根本任务，也是每个学段、每个年级、每个单元课程实施的核心任务，这一核心任务的达成不是虚无缥缈的，也不是泛泛而谈的，而是体现在每一节课的教学设计和实施过程中.

数学课中，要发展学生的数学眼光、数学思维和数学语言，首先要解决数学知识问题. 对数量关系及变化规律、函数概念、自变量的取值范围和求函数值这些数学基础知识的掌握，仍然是本节课首要解决的问题. 案例中，掌握基础知识并不是停留在记忆、理解的浅层次学习，而是深入应用、分析、评价等深度学习的层面.《标准》中，关于函数的概念提出了“形成初步的抽象能力”“初步形成模型观念”“发现变量间的变化规律”“对变量的变化趋势进行初步推测”等学业要求. 该案例中，由代数式到函数关系式，由变量取值范围到函数值，再到预测函数值的变化的学习过程中，学生反映学得比较轻松.

其次，《标准》明确要求培养学生用数学的眼光、思维和语言去观察、思考、表达的是“现实世界”，即学生真实生活中的“现实”的世界，而不仅仅是抽象的数字符号本身、变换和推理. 因此，关于函数概念的教学不应只关注数字符号的逻辑变化，而是要指向具体的问题；并且设计的具体问题不能是随意假设的，而应来自学生的真实的生活实际. 案例中设计的做垃圾分类家务奖励糖果的情境，使学生感到很亲切，因为这件事已经发生在很多学生身上；至于探讨“小明爸爸的奖励方案能否持续”“自己设计新的奖励方案”都是基于现实世界的问题，而学生谈到的“是否应该吃糖果”“勞动是义务不应得到奖励”等，更是学生面对现实世界的真实的思考和表达.

最后，《标准》所说的用数学的眼光、思维和语言去面对现实世界，指的不是教师，而是让“学生去观察”“学生去思考”“学生去表达”. 案例中，除了设置这样的问题情境，更重要的是在课堂教学实施过程中，教师不是在简单地展示、讲授表演，而是如何去启发、引导、调动学生，让学生独立或与同伴互助观察这一具体事例中的数量关系，思考数量之间的变化规律，表达新的事物之间的关系等.

2. 加强课程综合关联，更好地实现育人功能

本节课的育人效果的实现，不是通过数学知识的学习实现的，而是通过课程综合关联实现的.

第一，我国教育事业的育人目标是培养学生德智体美劳全面发展. 该案例设计了学生承担家务劳动和垃圾分类的情境，体现了责任感的培育，这是在育“德”；学习数学知识和思维，是在育“智”；做家务、送垃圾，若身体力行，是在育“体”，讨论青少年吃糖果是否健康也是育“体”；做家务是“劳”；垃圾分类使环境更美，是一种“美”. 可见，一节普通的数学课经过恰当的设计和实施，可以实现“五育”并举，从而实现对学生人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新的培养.

第二，虽然本节课是围绕着函数的概念进行教学，但真实生活情境中涉及的数学知识不仅仅是函数的概念. 例如，寻找第n次奖品的数量，其实是有关数列的知识；探讨小明爸爸的方案是否可以持续，涉及极限的概念；等等. 可见，如果落实综合关联原则，当我们真正面对现实的世界，《方案》中要求加强学科内部知识的整合，《标准》中要求体会数学知识之间的联系，也就成为一种必然要求和必然结果.

第三，当学生真正去面对现实世界里的真实问题时，每一个看似简单的问题都不简单. 案例中，当家长通过奖励引导孩子做家务劳动时，培养了学生的责任感和爱劳动的品质，与道德与法治课程有关联；履行责任是否必须奖励，把问题上升到了管理和伦理的高度；青少年是否可以吃糖果，吃糖果是否合适，问题涉及身体健康和营养知识领域；垃圾分类涉及环保知识和现代生活理念；小明爸爸的方案不能持续，制订新的奖励方案，涉及经济成本核算和管理激励等知识. 另外，语言表达是否恰当、心理状态的把握等都涉及不同的学科. 现实世界中的事物几乎都是跨学科跨领域的. 因此，强调加强课程内容与学生经验、社会生活的联系，强调跨学科主题学习，强调强化课程协调育人功能，强调运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题，必然应该成为当前教师的基本任务和基本技能.

第四，《方案》中关于课程综合关联的要求，体现在学业评价上，必然要求教师在教学时坚持“教—学—评”一致性，在进行教学设计时做到“教—学—评”一体化设计. 案例中，每道设问中分为3个小问题，遵循了循序渐进的教学规律和数学学习的特点. 还有一个重要的设计，就是3个小问题均可视为问题的不同层级和不同难度. 如果设定不同的分值，则可以进行更有针对性的课堂教学评价. 当然，具体评价的方式方法，可以是学生自我评价、同伴评价和教师统一评价配合使用，根据不同学生的特点和上课时的具体情况灵活使用. 教师通过设问步步引导，学生跟随设问由浅入深地思考，不同层级和水平的评价同步进行，将“教—学—评”一致性融入课堂教学过程中.

总之，聚焦学生全面发展和核心素养培养的义务教育课程改革大幕已然拉开，每名教师必然要参与其中，每名学生和每个家庭必然深受影响，落实立德树人根本任务有了更坚实的依托，认真理解《标准》，加强课程综合关联，应该成为我们关注和重视的关键之一.

参考文献：

［1］崔允漷，郭华，吕立杰，等. 义务教育课程改革的目标、标准与实践向度（笔谈）：《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》解读［J］. 现代教育管理，2022（9）：6-19．

［2］郭洪瑞，张紫红，崔允漷. 试论核心素养导向的综合学习［J］. 全球教育展望，2022（5）：36-48．

［3］崔允漷. 试论新课标对学习评价目标与路径的建构［J］. 中国教育学刊，2022（7）：65-70，78.

［4］郭元祥. 综合实践活动课程与教学论［M］. 北京：人民教育出版社，2013.

［5］崔雪. 基于数学学科核心素养的“函数”的单元教学研究［D］. 天津：天津师范大学，2020.