单元整体视角下的问题链教学实践与思考

摘  要：数学教学要重视单元整体结构，强调知识的逻辑连贯，加强学习理论指导，增强数学活动经验. 文章以“中点四边形的探究”为例，就如何进行单元整体视角下的问题链教学进行简要介绍.

关键词：单元整体；问题链；中点四边形

作者简介：胡柳青（1973— ），男，高级教师，主要从事初中数学课堂教学与解题研究.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“教学建议”中指出，在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系，改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联.《浙江省初中数学学科教学基本要求（2021版）》中指出，提倡开展基于核心素养的单元教学设计，在全章、单元整体基础上进行课时教学设计，发展学生的数学素养. 课时教学对于把握与优化课堂活动进程具有重要意义，但是也存在如下不足：易使知识割裂，无法形成知识链和结构体系；过于重视知识技能，缺乏对情感态度的关注，难以提升学生的学科核心素养；易拘泥具体内容“就课论课”，忽视教学整体“高屋建瓴”. 单元整体教学倡导将学习内容置于整体结构之中，更多关注内容的本质、蕴含的思想及素养的提升，对于避免教师过于关注具体知识，拓宽教学视野和提升教学效率等具有重要作用. 现以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“浙教版教材”）“中点四边形的探究”一课为例，谈谈笔者对运用问题链进行单元整体视角下的教学的实践与思考.

一、背景介绍

中点四边形是对初中阶段四边形知识的拓展，对其进行探究，既是对所学平行四边形（包括特殊平行四边形）内容的提升，也是对三角形中位线性质的巩固. 在常规教学中，教师更多关注如何引导、学生能否理解，目标聚焦在中点四边形问题的解决，以及进一步掌握特殊四边形的性质与判定，而对于“中点四边形是如何产生的，为什么要研究，中点四边形是如何变化和发展的，怎样去研究，如何通过中点四边形让学生体会和掌握研究几何图形的方法和策略，应该研究什么”这些隐含在学习过程中尤为重要的方法经验，无法得以充分体现. 学生在小学阶段已经了解了三角形与四边形，在七年级和八年级上学期学习了平行线、三角形（特殊三角形）和全等三角形等知识，已经具备了一定的几何直观和逻辑推理能力，但演绎和归纳、类比推理等能力还有所欠缺，通过几何直观来发现和提出问题、归纳和形成猜想等能力也亟须加强.

二、教材分析

中点四边形内容散见于浙教版教材第四章“平行四边形”和第五章“特殊平行四边形”. 在“4.5 三角形的中位线”一课安排例题证明一般四边形的中点四边形为平行四边形（第99页）；在“5.1 矩形”（第1课时）安排动手操作，在两条对角线互相垂直的四边形纸板中剪出矩形（第116页）；在“5.2 菱形”（第2课时）要求探究三角形的两条中位线与三角形的两条边所围成的四边形的形状（第122页），并在作业题中要求证明两条对角线相等的四边形的中点四边形是菱形（第123页）；最后，在“5.3 正方形”作业题中要求证明顺次连接正方形四条边上特殊位置的四个点构成正方形. 以上内容中包括例题、练习题、活动探究、动手操作，聚焦中位线，又不囿于中位线，从特殊到一般、从一般到特殊，形式多样、内容丰富，是很好的学习材料. 但是，由于学习内容的时间跨度较大，学生对知识的整体结构较难把握. 因此，将上述内容整合为主题探究成为可能，也势在必行.

三、教学设计

1. 教学目标

本节课的教学目标设置如下.

（1）通过对中点四边形的探究，巩固三角形中位线和特殊四边形的性质、判定，发展学生的合情推理和演绎推理能力.

（2）经历画图、猜测、验证、归纳等活动，体会和掌握研究几何图形的方法和策略，感受联想、分类、类比等数学思想.

（3）利用中点四边形解决问题，培养学生善于发现、乐于思考、勇于创新的学习品质，激发学生的学习兴趣.

2. 教学过程

（1）课题引入.

如图1，顺次连接△ABC各边中点所得的△DEF叫做“中点三角形”. 它有什么特征？说说你的认识.

思考1：在图1中，取DF，FE，ED的中点，得到新的中点三角形（如图2），继续取中点（如图3），所得中点三角形与原三角形有什么联系？

思考2：若将图1中的△ABC变为特殊三角形，如等腰（直角）三角形，所得中点三角形与原三角形有什么聯系？

思考3：若F，E，D分别是△ABC三边的三等分点（如图4）、四等分点（如图5）……，则△FED在形状、周长、面积等方面与△ABC有什么联系？

思考4：若将三角形变为四边形、五边形……时，所得中点多边形在形状、周长、面积等方面与原多边形有什么联系？

师生共同确定研究方向：选择中点四边形进行研究，探索中点四边形与原四边形的联系.

【设计意图】上课伊始，教师有意避开中位线问题，从知识整体结构入手，补充中点四边形的上位概念——中点三角形，引发学生思考，并得出若干想法，因势利导选取研究主题——中点四边形. 这既为课堂的探究作了铺垫，也符合几何学习的一般过程，即先给出定义，再研究性质、判定，最后应用拓展. 如此处理，突出了学习目标的自然形成过程，提升了学生发现问题和提出问题的能力.

（2）活动探究.

类比中点三角形，顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做“中点四边形”. 对于中点四边形，你觉得有哪些方面需要研究？

探究1：想象任意四边形的中点四边形是什么图形？想象有困难的话，可以尝试画出一般四边形的中点四边形，并观察其形状.

针对探究1，教师提出以下问题引导学生思考.

问题1：如图6，任意四边形的中点四边形是什么形状的四边形？如何证明？

问题2：中点四边形与原四边形是如何建立联系的？

问题3：上述过程中，你是如何开展探索的？

【设计意图】探究1的3个问题层层深入. 问题1强调知识的获得，问题2强调本质的发现，问题3是活动经验的总结. 师生共同归纳得到“想象—画图—观察—猜想—验证—归纳”的几何研究的一般方法. 显性化的是知识的获取、本质的发现，更重要的是其中蕴含的数学思想和研究方法.

探究2：我们知道任意四边形的中点四边形一定是平行四边形. 对此，你还有其他想要研究的问题吗？

针对探究2，师生共同总结以下几个思考方向.

思考1：由中点四边形想到中点多边形，中点多边形在形状、周长、面积等方面和原多边形是否存在联系？

思考2：由中点四边形想到中点特殊四边形，原四边形为特殊四边形时，其中点四边形是否为特殊四边形？

思考3：逆向思考，当中点四边形为特殊四边形时，原四边形会是什么样的四边形？

师生共同确定研究方向：从一般到特殊，特殊四边形的中点四边形有何特征？反之，中点四边形是特殊四边形时，原四边形又有什么特征？

针对以上研究方向，教师提出以下问题引导学生思考.

问题1：尝试运用“想象—画图—观察—猜想—验证—归纳”的研究思路，探究原四边形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形时，其中点四边形分别是什么四边形？填写表1.

[一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 中点四边形 ][表1]

问题2：原四边形为矩形和等腰梯形时，其中点四边形均为菱形. 对此，你有什么想法？中点四边形为菱形时，原四边形一定为矩形或等腰梯形吗？

问题3：你能画出一个不是菱形的四边形，使得其中点四边形是矩形吗？中点四边形是特殊四边形时，探究原四边形需满足什么条件，填写表2.

[中点四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 原四边形 ][表2]

问题4：如图7和图8，你能运用其他方法来说明矩形（菱形）的中点四边形是菱形（矩形）吗？

【设计意图】以上探究过程中，关注对象不同，理解角度不同，解决方法不同. 思考1是从特殊到一般，思考2是从一般到特殊，思考3是逆向思考，强调思维的深刻与变通. 问题1 ～ 3的解决，旨在提醒学生不能被事物的表面所迷惑，要透过现象明晰本质，即决定中点四边形形状的是原四边形对角线的数量与位置关系. 对于问题4的解决思路，学生是容易想到的，转换视角，回到矩形（菱形），利用勾股定理、三角形全等、等腰三角形等知识解决问题，强调知识学习的完备性和思维方法的多样性. 教师要关注解法的自然生成，让学生充分表达观点和想法，主动且富有个性地学习.

探究3：与三角形相比较，四边形中还有两条特殊线段——对角线. 如果将对角线的中点纳入研究范畴，你会如何思考？

针对探究3，师生共同确定以下几个思考方向.

思考1：在四边形中，取各边和对角线中点，可以得到6个中点，这些中点可以构成多少个中点三角形、中点四边形？你觉得哪些图形有研究价值？

思考2：对于这些中点多边形，你认为该如何进行研究？研究什么？

师生共同确定研究方向：依照上述方法，研究含对角线中点的中点四边形形状与原四边形的联系.

针对以上研究方向，教师提出以下问题引导学生思考.

问题1：如图9，在四边形ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是各边和对角线的中点，可得到多少个中点平行四边形？

问题2：如图10，四边形EQGP是平行四边形吗？你认为原四边形满足何种条件时，四边形EQGP是菱形（矩形）？中点四边形EQGP是否一定存在？原四边形有何特征时，它不存在？

问题3：如图11，对于中点四边形HPFQ可以研究什么？说说你的想法.

【设计意图】探究3的设计基于如下考虑. 第一，继续渗透研究方法，首先研究图形的基本元素，如边和角，其次研究由边角生成的新元素，如三角形的“四线”、四边形的对角线等. 因此，研究四边中点后，自然要研究对角线中点. 第二，从知识理解角度而言，学生虽然已经发现和掌握了中点四边形的有关性质，但是仍然需要教师为学生创造落实“四基”、提高“四能”的机会，通过一题多法、多题化一，使学生理解问题的本质，提升学习能力.

探究4：上述研究中，我们利用中位线及特殊平行四边形的性质解决了中点四边形问题. 我们还在一次函数中研究过平行线，能否将中点四边形放到平面直角坐标系中研究？

思考1：对于线段中点，你有哪些认识？知道线段两个端点的坐标，你能否表示出它中点的坐标？

思考2：对于“两直线平行”，你有哪些认识？能否利用直线上的两点坐标求出直线解析式？若两直线平行（或垂直），其解析式之间有什么联系？

思考3：对于一般四边形的中点四边形形状，能得到哪些结论？你可以证明吗？你能判断矩形（菱形）的中点四边形的形状并证明吗？

师生共同确定研究方向：尝试构建平面直角坐标系，求出相应直线的表达式（线段长度），利用解析法解决上述问题.

问题1：对于图6，以点B为坐标原点，建立如图12所示的平面直角坐标系. 设点A（a，b），D（c，d），C（e，0），求出中点E，F，G，H的坐标，并求出相应的直线解析式. 你发现了什么？

问题2：对于如图7所示的矩形（如图8所示的菱形），你会建立怎样的平面直角坐标系并进行类似的研究？

【设计意图】探究4的角度更加独特，引导学生通过建立恰當的平面直角坐标系表示出中点坐标，利用待定系数法求得相应直线的解析式，最后通过斜率相同（或乘积为-1）得出两直线平行（或垂直）；利用两点间线段长度公式得出对应线段相等，从而确定中点四边形形状. 该过程引导学生从平面几何走向解析几何，从不同角度看待问题，对于拓宽学生的视野、发展学生的数学核心素养大有裨益.

（3）回顾总结.

回顾探究历程，说说你对中点四边形的认识，尝试总结应该如何进行几何图形的研究.

问题：今天我们研究了中点四边形，你可以通过如下几个方面进行总结：① 我的收获：数学知识，数学思想，数学问题研究方法；② 我的困惑；③ 我的想法.

师生归纳小结，得到图13、表3和表4.

【设计意图】回顾、归纳本节课的学习内容，重点关注知识、方法和经验. 知识是学习的载体，方法和经验是本质所在. 将小结设计成“数学日记”的形式，视时间情况也可以让学生在课后完成，给学生充分思考、交流和总结的时间和空间.

（4）拓展引申.

问题1：观察图14 ～ 16，中点多边形和原多边形在周长、面积方面是否存在联系？

学生提出猜想，教师运用几何画板软件探索，并将结果用恰当方式表示出来.

问题2：本节课探究中点四边形时利用了三角形中位线. 那么，这些图形之间是否有一定的联系呢？

教师利用几何画板软件拖动四边形顶点P，得到如下图形：图17和图18是本节课研究的中点四边形；图19是三角形的中位线；图20和图21是两种新图形.

问题3：想象一下，若点P运动到与△ABC不在同一平面的某个位置上（如图22），中点四边形还存在吗？会是平行四边形、矩形、菱形吗？

问题4：如图23，如果是长方体，连接棱的中点（各面中心），又会产生哪些有趣的图形和结论？你能运用今天所学的方法研究它们吗？

【设计意图】将问题“串”起来，让学生带着问题走进课堂，带着更多问题走出课堂. 对于问题1，让学生从多个维度研究中点四边形，角度更加完整，拓宽学生视野. 通过问题2引导学生从二维平面到一维线段再到三维立体，深入对中点四边形的研究，掌握知识本质. 学生通过深度、广度研究，全面认识猜想或发现，生成新问题、获得新发现、带来新思考，走向“思考—发现—研究—解决—再思考—再发现—再研究—再解决……”的研究之路.

四、教学反思

1. 单元整体视角下的问题链教学，把握内容，思“课”之整体

数学知识具有严谨的结构体系和学习程序. 受学生认知水平限制，教材内容编排有时会将数学知识结构打乱重组，即所谓的螺旋式上升. 但学生可能会窥一斑而不知全豹. 教师需要弄清楚知识在数学体系中的地位与作用，领悟教材编写线索与意图，关注对教材内容的拓展与延伸，将散布于教材中“具有关联性”的知识点进行串联、整合、重构，形成相对完整的教学单元，实现单元教学上接下联、贯通学科素养与课时目标的承上启下的作用. 本节课将浙教版教材第四章和第五章中有关中点四边形的内容整合在一起，从三角形中位线开始，研究一般四边形、平行四边形（特殊平行四边形）的中点四边形形状与本质，适时拓展延伸，从平面几何到解析几何，从二维到一维再到三维，有效避免知识碎片化，让学生获得对数学知识的整体认知，以及几何图形研究的一般方法与经验.

2. 单元整体视角下的问题链教学，精练于例题，思“题”之深广

初中阶段的数学课堂教学应该有一定的广度和深度. 广度体现知识容量与范围，深度表现数学思想与方法. 单元整体视角下的问题链教学中，學生对知识的掌握、方法的提升、思想的领悟都凝聚于例、习题中. 首先，例题中蕴含的知识要素是主干知识和重要思想，不要旁逸斜出、主次不分；其次，例题中隐含的知识含量充足，可以适当拓展，进行丰富和必要的发散与提升；最后，例题中包含的知识种类丰富，既有基础知识、基本技能，又有基本思想方法和基本活动经验. 教学中，教师要对所选例、习题精细打磨，关联教学目标，强化核心思想，保证最终解决的问题具有很高的价值. 本节课从最基础的问题开始探究，先研究一般四边形的中点四边形，然后将其特殊化为矩形（菱形、正方形），又一般化到关注形成本质（对角线的位置与数量关系），接着从静到动，从平面到立体，引导学生经历想象、画图、观察、猜测、验证、归纳、拓展的过程，环环相扣、层层递进的问题链引发学生持续思考，不断激活具体经验，达成对知识与方法的深度理解.

3. 单元整体视角下的问题链教学，得法于学习，观“教”之本色

数学教学是学生的学与教师的教的有效统一. 单元整体视角下的问题链教学强调“学生之本位”，还“课堂之本色”. 学生是数学活动的主体，教师通过创设问题链引导他们发现、探究、交流、归纳，有效梳理知识与方法，发展数学核心素养. 在教学中，教师还可以尝试引导学生参与变式、编题，提出一些富有探究价值的问题，使得其对知识的理解更为全面、更加透彻，让不同层次的学生有不同程度的理解，让个性相异的学生表达独特的思考路径，让学生的疑惑引发教师思考，将被动灌输转变为主动探究. 本节课中，通过创设有效的问题情境，引导学生充分思考，师生共同确定研究方向，经历了类比、猜想、验证、推理、引申的过程. 在这个过程中，问题是学生自己提出的，研究路径是学生自己设计的，结论是学生自己探索的，学生感受到数学是如此有趣、有用，数学学习是如此有成就感. 唯有如此，才能让核心知识的教学和重要思想的培养落到实处，才能真正激发学生的数学学习兴趣，激发创新意识，提高数学核心素养.

参考文献：

［1］唐恒钧，张维忠. 数学问题链教学的理论与实践［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

［2］波利亚. 怎样解题［M］. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2002.

［3］章建跃. 章建跃数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.