小学高年级发展数学建模三部曲——以《钉子板上的多边形》教学为例

文|相 辉

《数学课程标准（2022 年版）》明确指出：“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；模型意识有助于开展跨学科学习主题，增强对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础。”挖掘教材中蕴含的数学模型，引导学生经历模型建立和求解的过程，能够发展学生的模型意识，增强学生对数学学习的兴趣，提高应用意识和实践能力。

苏教版教材中蕴含着丰富的建模内容，其中五年级上册《钉子板上的多边形》一课具有独特的价值。小学高年级阶段，学生遇到的数学问题相对比较“规范”，建模的过程往往比较顺畅。但是，钉子板上多边形的面积却大有不同。它不仅涉及图形的面积和边上钉子数这两种数量，还与图形内部的钉子数有关，关系相对复杂、比较隐蔽，在初建结构时学生很难完整把握，需要对模型进行修正、优化。这在小学阶段的建模教学中比较少见，对发展学生的科学探究精神、理解模型假设和模型检验的价值，获得较为完整的建模经验具有重要的意义。

基于以上认识，笔者认为，在教学《钉子板上的多边形》一课时，教师要抓住模型的初建、修正、优化三个阶段，精心设计教学活动，丰富学生的感知和思维体验，将这节课对发展模型思想的价值发挥到最大。

一、引导学生合情猜测，初步建立模型

小学生在建构数学模型时，通常需要经历“观察猜测，推理验证”的探究过程。观察猜测是建模的第一步。学生的猜测是基于已有的认知或直觉做出的“合情假设”。教师要给予学生观察、操作、数据的收集与比较的空间和时间，在此基础上，激发学生依据目前已有的资料和分析做出合情猜测，这种初步构建的数学结构才可能更为接近准确的模型。

师：以前在认识图形时，我们用钉子板围过一些图形，今天用点子图代替钉子板。我们约定：每个小正方形的边长都看作1 厘米。你能在点子图上画一个多边形吗？这个多边形的面积是多少？你是怎样得到的？

学生画图并交流多边形的面积计算方法，明确计算多边形的面积时可以数一数，也可以算一算。

师：今天，我们要研究钉子板上的多边形面积的规律。想一想，钉子板上的多边形面积可能会与什么有关呢？

生：我觉得可能会和图形边上的钉子数有关。我们在钉子板上围图形，感觉经过的钉子数越多，图形内部就越大。

师：有一定道理，是不是与钉子数有关？有什么关系？下面我们来一起研究。

学习活动一

学习提示：

1.独立填写：上图中4 个多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？填写在下表中。

图形编号多边形的面积/平方厘米多边形边上的钉子数/枚①②③④

2.独立观察并思考：表中多边形面积的大小和多边形边上的钉子数，你有什么发现？

3.小组交流：核对表中数据，讲明是怎么得到的，并说一说你的发现。

生：我们组发现，多边形边上的钉子数越多，围成图形的面积越大。

生：我们组还发现，多边形面积的平方厘米数是多边形边上的钉子数的一半。

师：谁和他们有同样的发现？真了不起，数学讲究简洁，有什么更简洁的方法表示这个规律吗？

生：可以用字母表示。

师：用字母表示是个好方法。若用字母n 表示多边形边上的钉子数，用字母S 表示多边形的面积，那么这个关系应该表示为S=n÷2。

上面这一环节，教师先后引导学生进行两次猜想。第一次猜想建立在学生过去围多边形、计算多边形面积的经验和空间直觉的基础上，让学生猜一猜“你认为钉子板上多边形的面积会与什么有关”。教师不但鼓励学生大胆猜想，还要求学生适当做出解释，使学生初步感悟猜想也要有所依据。第二次猜想，学生数或计算出所给图形的面积，完成第一次数据收集，然后通过观察、比较发现现有数据之间的关系：多边形的面积=边上钉子数的一半，形成了初步的数学模型。

二、鼓励学生大胆质疑，在“回望”中修正模型

观察猜想，虽然基于一定的材料和经验，但往往是通过举例、观察、实验等直观而不严谨的方法得出的，导致有的猜想正确，有的猜想错误，因此猜想之后还要验证。只有检验的结果比较符合实际，满足问题所需要的精度，才能认为所建模型可以使用。否则，还需要回到建模的最初环节，重新进行模型假设和检验。

师：规律这么快就被同学们发现了，还有什么疑问吗？

生：我们是从上面4 个图形发现的结论，所有钉子板上围出的多边形都符合这个结论吗？

师：是不是所有的多边形都符合这个规律？其实，仅从4 个多边形得出结论是远远不够的，需要通过大量的多边形来验证。下面我们就来研究：这个规律对于你刚才所画的多边形适用吗？

学习活动二

学习提示：

1.研究自己画的多边形。

S=（ ）cm2，n=（ ）枚，是否符合规律？符合（ ）不符合（ ）

2.再次观察多边形①②③④，它们有什么共同点？在小组内进行交流。

生1：我画的图形符合规律，我发现只要图形内部只有一枚钉子，就符合规律。

师：大家同意吗？还有谁画的多边形也符合这一规律？内部有几枚钉子？

师：当围成多边形的内部只有1 枚钉子时都符合。当内部不是1 枚钉子时，是不是都不符合这个规律呢？

师：我们发现：钉子板上围成的多边形面积不仅与多边形边上的钉子数有关，还与围成的多边形内部的钉子数有关。看来，我们刚才发现的规律不够准确，需要修改一下，怎样修改呢？

生：当内部只有一枚钉子时，S=n÷2。

师：能更简洁吗？

生：用a 表示内部钉子枚数，当a=1 时，S=n÷2。

这一环节，教师通过提问，引导学生大胆质疑。刚才我们仅仅通过4 个实例就总结出了规律，是不是所有的多边形都符合这个规律？从而激发学生举更多的实例来验证的欲望，然后顺其自然引出活动二“研究自己画的多边形”，这时只要有学生举出反例，通过对比就可发现这一规律仅在内部有一枚钉子时成立，进而发现刚才找到的规律需要修正。

过去的学习中，学生虽然已经多次经历“猜想—验证”的过程，但验证的猜想都是正确的，导致学生误认为验证可有可无。教师充分用好前期初建的数学模型，引导学生大胆质疑，审慎帮助学生深刻体会验证的意义，理解“模型假设—模型检验”的必要性。

三、启发学生异中求同，在抽象概括中优化模型

数学模型反映的是一类问题在数量关系和空间形式上的共同规律。模型思想要求我们从解决一个问题，拓展为解决一类问题。也就是在建模的过程中，尽可能引导学生从具体情况出发，分析概括共同要素，将具体的量的关系概括在一个数学公式之中，使模型更具有一般性和统摄性。

师：看来，多边形的面积不仅与边上的钉子数有关，还与图形内部钉子数有关。当内部钉子枚数为1 时，多边形的面积S=n÷2。当内部钉子数不为1 时，这个表达式就不能用了。我们该怎么办？

生：我们还要分别研究当内部钉子数是2 枚、3 枚……时，图形面积又会与边上钉子数有什么关系？

生：我们可以看看它们是不是有什么共同的规律。

学生依次得出：

当a=2 时，S=n÷2+1，也和边上钉子数的一半有关。

当a=3 时，S=n÷2+2。

当a=4 时，S=n÷2+3。

在老师启发下得出：当a=0时，S=n÷2-1。

师：通过刚才的研究，我们发现内部钉子数是2、3、4 甚至内部没有钉子时，多边形面积与钉子数之间的关系。这些规律看起来不同，但有没有共同的地方呢（提示：既要竖向比一比，也要横向进行比较）？

学生经过讨论发现：求多边形的面积都需要用边上的钉子数÷2 再加上一个数，加上的这个数总比内部的钉子数少1。

师：如果假设多边形内部的钉子数为b，能用一个式子表示出刚才的规律吗？

学生通过讨论得出：S=n÷2+b-1。

师：这个公式，就是著名的皮克定理。大家太厉害了，和奥地利著名数学家皮克的发现完全一样。

学生通过举例验证，运用不完全归纳的方法发现了当内部钉子数分别为0、1、2、3、4 时，多边形面积与相关钉子数之间的关系，得到了不同的公式。然而本节课的探究学习并没有止步于此，教师又根据班级学生的实际情况，大胆引导学生进行进一步的探索：这些不同的公式有什么相同的地方？学生通过观察、比较、分析、讨论，发现了不同公式的共同特点，得到了更具一般意义的“通用公式”。

对学生而言，探索钉子板上多边形面积奥秘的历程，是一次体验丰富的建模过程。通过对模型的三次建构，深刻体会到“模型假设—模型建立—模型检验”的必要性，最终获得简洁而又更具一般化的数学模型，让学生忍不住感叹数学的精妙，自然流淌出对模型力量的叹服，模型思想在经历与反思中不断拔节生长！