基于深度学习的高三数学微专题复习策略

宗冬娣

摘要：本文以“多面体的外接球问题”的复习为例探索基于深度学习的高三数学微专题复习策略.

关键词：深度学习；微专题复习；外接球

在高三数学复习中，经常会遇见学生一听就懂，一做就错的现象，这样的无奈，究其本质，就是学生对所学内容不甚理解或者理解了但不会运用，又或者会解决当下的问题，但又无法迁移去解决新的问题.而这些情况都不是靠延长学习时间、反复讲或大量刷题就能够解决的，其根本原因在于学生没有发生真实的“深度学习”.

深度学习理论认为知识的获得应该是建立在理解基础上的知识整合与运用，而不是简单的知识叠加与记忆.数学微专题复习是指立足于学生原有的认知结构，教师通过对相关或相似的数学概念、规律原理、模型思想方法等内容进行整合与提炼形成种联系紧密、逻辑清晰的微型专题复习结构.微专题具有因微而准，因微而细，因微而深的显著特点，正是促进深度学习真实发生的重要途径.本文以高三数学“多面体的外接球问题”的专题复习为例，谈谈深度学习理念下的高三数学微专题复习策略.

1教学流程设计

1.1真题回顾，明确高考方向

高三的复习课首先要明确高考方向，把握高考热点，然后进行微专题教学，查找漏点、扫清盲点、厘清疑点、突破难点.纵观近几年高考数学全国卷，球常和其他空间几何体相结合，以选择题或填空题的形式出现，研究多面体外接球的问题，需要具有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力，动态观察形成数学直观，在具体的情境中感悟数学问题的本质.

如图：

教学意图：把历次的高考真题展示给学生，让学生明白这个专题的重要性，吸引学生，使学生产生学习的热情，起到开门见山的作用.

1.2直观画图，提出问题

问题1：你能画出长方体（正方体）外接于球的直观图吗？其几何体的外接球的球心分别在哪里？外接球的半径与这些几何体的棱长存在什么数量关系？

问题2：球的定义是什么？多面体的外接球定义是什么？

问题3：长方体（正方体）外接球的球心为什么是其体对角线的中点？

教学意图：引导学生作出准确而富有立体感的直观图，借助直观图研究长方体（正方体）外接于球的位置关系，找出球心位置，让他们通过自己的主动探究，产生对外接球的内心体验，体会从实际事物、模型到直观图形的抽象识和操作方法使空间想象素养的培养落在实处.

1.3深度類比，理解知识本质

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证.

问题4：类比平面上圆的性质，那么球有哪些性质？

生1：如图2，用一个平面去截球，截面是圆面，用一个平面去截球面，截线是圆.

生2：球心和不过球心的截面圆心的连线垂直于截面.

生3：如图3，球心到截面的距离d与球的半径R

及截面的半径r有关系：r= R2－d2 .

问题5：观察长方体（正方体）外接球模型，其外接球的球心位置还能如何确定？

生：长方体的两个相邻面所在的平面截球，得到截面为圆面，过两截面的圆心作垂直于截面圆的垂线，则由过两截面圆心的垂线交点就是外接球的球心.如图4，OO1= C 2 ，AO1=  a2+b2  2 ，R＝  a2+b2+c2  2 .

教学意图：教育家布鲁纳提出，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构.这是在运用知识方面的最低要求，它有助于解决学生在课外所遇到的问题和事件，或者在日后训练中所遇到的问题”［1］.通过平面上圆的性质，类比球的性质，联想长方体的外接球球心位置的另一种确定方法.通过分析、比较、抽象、概括、类比等数学思维过程，抽象出外接球球心位置确定的本质特征，从而建构起深度的结构化知识体系.

1.4规律迁移、进行问题解决

迁移是学习者理解或识别新旧知识之间的关联性后产生的已有知识在新学习中的应用［2］.迁移是学习的主要目的，所有学习活动的目标都是为了使学生实现迁移.迁移是否成功取决于学习者对新旧知识之间的理解深度.

问题6-1：已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（）.

A.16π B.（2 3）π

C.8π D.（8 2  3）π

问题6-2：三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥P-ABC的各棱长为：PA＝2，PB＝3，PC＝4，AB13，BC＝5，AC＝2/5，则球O的表面积为（）.

A.28π

B.29π

C.30π

D.31π

问题6-3：已知D，E分别是边长为2的等边△ABC边AC，AB的中点，现将△ADE沿DE翻折使得平面ADE⊥平面BCDE，则棱锥A-BCDE外接球的表面积为______.

教学意图：针对确定外接球球心位置不同方法对应设置三个问题，即：球的定义法，长方体（正方体）补形法，球的截面性质的应用.在问题解决中回归到概念本身，学生理解了概念本身，应用能力自然就随之提高.深度学习不在于教师讲了多少，而在于学生悟出了多少、获得了多少.深度学习从学生的认知水平出发，采用能满足学生发展需要的教学策略和教学手段，为学生创设一个个数学问题，引导学生在积极、主动的探知过程中掌握教学内容.

2教学反思

在进行基于深度学习的微专题教学时，教师还要考虑不同层次的学生存在认知水平的差异，在教学中要不断地优化“微专题”的设计，尽可能引导学生由“浅层学习”逐步走向“深度学习”，发展学生的高阶思维，以问题链、深度理解、总结反思等教学途径促进学生理解知识本质、构建知识网络，提高问题解决能力，从而提升学生数学核心素养.

参考文献：

［1］布鲁纳.教育过程［Ｍ］.上海师范大学外国教育研究室译.上海：上海人民出版社，1973.

［2］曹宝龙.学习与迁移［Ｍ］.杭州：浙江教育出版社，2019：2-８.

基金项目：江苏省中小学教学研究课题：高中数学反思性教学的策略研究（课题编号：2013JK10-L070）.