解析几何中斜率之和为零的问题探究

张剑

摘要：新高考全国Ⅰ卷，连续两年倒数第二题解答题，都对解析几何两直线斜率之和为零的知识点进行了考查.本文就两类与圆锥曲线有关的两直线斜率之和为零的相关问题进行探究，由特殊的圆锥曲线探究得到结论，再进行一般性结论的探究.使学生在以后的解题中，可以起到事倍功半的效果.

关键詞：直线；斜率；定值；椭圆

近两年来，新高考全国Ⅰ卷，解析几何的解答题，都考查了两直线斜率之和为零的定值问题.本文就有关直线斜率之和为零的有关知识点和解题方法，谈谈在解析几何教学中，斜率之和为零的问题探究.

探究1：已知椭圆 x2 8 + y2 2 =1，过椭圆上的点P（2，1）作直线l1，l2与椭圆相交于点M，N，若l1与l2的斜率互为相反数，问直线MN的斜率是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.

解：设直线l1：y=k（x－2）+1，得〖HL（1：1，Z〗y=k（x－2）+1 x2 8 + y2 2 =1，代入消元，整理得：

（4k2+1）x2－（16k2－8k）x+16k2－16k－4=0，

∴xP·xM= 16k2－16k－4 4k2+1 ，解得xM= 8k2－8k－2 4k2+1 ，

同理可得，xN= 8k2+8k－2 4k2+1 .

∴kMN= yM－yN xM－xN = k（xM－2）+1+k（xN－2）－1 xM－xN =k· xM+xN－4 xM－xN = 1 2 （定值）.

进一步把题目推广为：已知椭圆mx2+ny2=1（m>0，n>0且m≠n），过椭圆上的点P（x0，y0）作直线l1，l2与椭圆相交于点M，N，若l1与l2的斜率互为相反数，问直线MN的斜率是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.

解：设直线PM：y=k（x－x0）+y0，椭圆mx2+ny2=1（m>0，n>0且m≠n），联立：〖HL（1：1，Z〗y=k（x－x0）+y0mx2+ny2=1，代入消元，整理得：

（m+nk2）x2－（2nk2x0－2nky0）x+nk2x20－2nkx0y0+ny20－1=0，

∴xP·xM = nk2x02－2nkx0y0+ny02－1 m+nk2

= nk2x02－2nkx0y0－mx02 m+nk2 ，

解得，xM= nk2x0－2nky0－mx0 m+nk2 ，

同理可得xN= nk2x0+2nky0－mx0 m+nk2 .

∴kMN= yM－yN xM－xN = k（xM－x0）+y0+k（xN－x0）－y0 xM－xN =k· xM+xN－2x0 xM－xN = mx0 ny0 （定值）.

我们可以得到结论：过椭圆上一点P的斜率之和为0的两直线与椭圆有两个交点，连接此两点的直线，其斜率是一个定值.

根据m，n的不同取值，还可以进一步推广到双曲线和圆.具体如下表：

探究2：若斜率为k的直线MN经过椭圆mx2+ny2=1（m>0，n>0且m≠n）内的定点Pp，0（p≠0），问在x轴上是否存在定点T使∠MTO=∠NTO？若存在，请求出该定点，若不存在，请说明理由.

解：椭圆方程：mx2+ny2=1（m>0，n>0且m≠n），lMN：y=k（x－p），

联立得：〖HL（1：1，Z〗y=k（x－p）mx2+ny2=1，代入消元整理得，

（m+nk2）x2－2nk2px+nk2p2－1=0.

设M（x1，k（x1－p）），N（x2，k（x2－p）），则x1+x2= 2nk2p m+nk2 ，x1·x2= nk2p2－1 m+nk2 ，

假设在x轴上存在定点T（t，0），

则kMT= k（x1－p） x1－t ，kNT= k（x2－p） x2－t ，

由∠MTO=∠NTO，即kMT+kNT=0，也即 k（x1－p） x1－t + k（x2－p） x2－t =0，

∴ 2x1x2－（p+t）（x1+x2）+2pt （x1－t）（x2－t） =0，

∴2nk2p2－2－2nk2p2－2nk2pt+2ptm+2ptnk2=2ptm－2=0.

∴t= 1 mp （p≠0），即在x轴上存在定点T（ 1 mp ，0）使∠MTO=∠NTO.

可以得到结论：过椭圆内x轴上一定点P的直线与椭圆相交于M，N两点，在x轴上存在定点T，使得直线MT和直线NT的斜率之和为零.

根据m，n的不同取值，还可以进一步推广到双曲线.具体结论如下表：

通过对斜率之和为零的问题探究，可以让学生掌握斜率之和为零的问题的基本解法.在探究中不断推广、深入，掌握一般性的结论，进一步提高了学生分析问题、解决问题的能力.