条件是否多余，值得研究商榷

许琳

摘要：数学问题中的题设条件或信息在实际解题过程中是否得以应用是常规命题的一个基本框架与预设.本文结合一道模拟题，借助题目中的信息，从不同思维视角与技巧方法出发，分析与求解，剖析题设条件是否全部应用.

关键词：双曲线；直线；离心率；平面几何

在求解一些高考模拟题或高考真题时，有时会碰到解析过程中没有用到题设条件中的若干条件或信息，而题目就得以解决，这是否说明解析出错？按常规情况，题设条件中的所有信息都有一定的用处，若有条件或信息没有用到，往往感觉离错误已经不远了．那么现实是否是这样的？本文结合一道模拟题，谈谈对以上问题的想法.

1原题呈现

0题目（2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测（一）数学试题·16）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2为双曲线C：x2a2－y2b2=1的左、右焦点，A1，A2为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分∠A1PF2，直线PF1与PA1的斜率分别为k1，k2，且k1=－k2=15，则C的离心率等于．

本题是一道圆锥曲线中有关双曲线的离心率的求值问题，以平面解析几何的背景创设，合理融入平面几何图形的相关知识，结合了平面几何中的三角形内角平分线定理，平面解析几何中的直线的斜率等相关知识点，很好交汇了平面几何与平面解析几何、以及三角函数等相关知识，是一道新颖创新的好题．

2问题破解

2．1思维视角1：平面几何思维

0方法1：平面几何法1

0解析：如图所示，OA1=a，OF2=c，

易知S△POA1：S△POF2=a∶c，

而

S△POA1=12×PA1×PO×sin∠OPA1，

S△POF2=12×PF2×PO×sin∠OPF2，

结合PO平分∠A1PF2，知∠OPA1=∠OPF2，则有PA1∶PF2=a∶c.

过点P作PB⊥x轴，垂足为B，

由于k1=－k2=15，知PF1和PA1关于PB对称，即有PF1=PA1，所以PF1∶PF2=a∶c.

结合双曲线的定义，知PF2－PF1=2a，解得PF1=2a2c-a，而A1F1=c－a，可得BF1=c-a2.

設直线PF1的倾斜角为α，则k1=tanα=15，可得cosα=14，

所以在Rt△PBF1中，cosα=BF1PF1=14，

即c-a2×c-a2a2=14，整理可得c=2a，

所以双曲线C的离心率e=ca=2，故填答案：2．

0解后反思：根据平面几何图形的特征转化，通过三角形的面积及其性质来确定线段的比例关系，利用几何作图以及双曲线的定义转化，结合三角函数的定义以及解直角三角形来构建双曲线中的基本量a，b，c之间的关系式，得以求解相应的离心率．平面几何法处理过程中，直观形象和数形结合是解决此类问题中比较常用的一种技巧方法．

0方法2：平面几何法2

0解析：过点P作PB⊥x轴，垂足为B，而k1=－k2=15，则知PF1和PA1关于PB对称，即有PF1=PA1，因为A1F1=c－a，则BF1=c-a2.

设直线PF1的倾斜角为α，则k1=tanα=15，可得cosα=14，

在Rt△PBF1中，cosα=BF1PF1=14，

可得PF1=4BF1=2c－2a，

结合双曲线的定义，可得PF2=PF1+2a=2c.

又PO平分∠A1PF2，结合三角形内角平分线定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，即PF1PF2=ac，

则有2c-2a2c=ac，即c=2a，所以双曲线C的离心率e=ca=2，故填答案：2．

0解后反思：根据平面几何图形的特征转化，从另一个视角来分析与求解，与方法1的思维方式大体雷同，只是求解起来更加紧凑、更加流畅、更加简捷．这里回归初中阶段直角三角形中的三角函数的定义，并结合双曲线的定义，是破解问题的关键所在．平面几何图形的直观形象以及数形结合应用，也是解决问题中的重点之一．

2．2思维视角2：解三角形思维

0方法3：解三角形法

0解析：过点P作PB⊥x轴，垂足为B，而k1=－k2，则知PF1和PA1关于PB对称，即有PF1=PA1，

且PO平分∠A1PF2，结合三角形内角平分线定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，即PF1PF2=ac.

结合双曲线的定义，可得PF1PF1+2a=ac，解得PF1=2a2c-a，则PF2=PF1+2a=2acc-a.

设直线PF1的倾斜角为α，则k1=tanα=15，可得cosα=14，

在△PF1F2中，利用余弦定理，可得

cosα=PF21+F1F22-PF222PF1×F1F2=14，

则有2a2c-a2+4c2-2acc-a22×2a2c-a×2c=14，整理可得2c4－4ac3－a2c2+a3c+2a4=0，即2e4－4e3－e2+e+2=0，亦即（e－2）（e－1）（2e2+2e+1）=0，解得e=2或e=1（舍去），

所以双曲线C的离心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根据平面几何图形的特征转化以及应用三角形内角平分线定理，确定各对应线段的长度，结合解三角形中的余弦定理来构建双曲线中的基本量a，b，c之间的关系式，利用四次方程的转化与求解来达到目的．这里在构建含基本量的关系式时，数学运算量比较大，导致部分学生不易上手或无法解决．

2．3思维视角3：解析几何思维

0方法4：解析几何法

0解析：过点P作PB⊥x轴，垂足为B，而k1=－k2=15，则知PF1和PA1关于PB对称，

由于A1F1=c－a，可得BF1=c-a2，PB=15（c-a）2，则知P－a+c2，15（c-a）2，

且P为C左支上一点，则有

（a+c）24a2－15（c-a）24b2=1，

结合b2=c2－a2，整理可得c2+4ac－12a2=0，即e2+4e－12=0，解得e=2或e=－16（舍去），

所以双曲线C的离心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根据平面几何图形的几何特征，直接确定点P的坐标，进而代入双曲线方程，整理得到双曲线中的基本量a，b，c之间的关系，从而得以求解相应的离心率．利用解析几何法处理问题时，题目条件“PO平分∠A1PF2”在实际求解过程中并没有涉及与应用，是本题的一个多余条件．

0方法5：焦半径公式法

0解析：过点P作PB⊥x轴，垂足为B，而k1=－k2，则知PF1和PA1关于PB对称，即有PF1=PA1，

又A1F1=c－a，可得BF1=c-a2，则有OB=c－c-a2=a+c2，即点P的横坐标xP=－a+c2.

由于P为C左支上一点，

根据双曲线的焦半径公式，可知

PF1=－（exP+a）=ac+c2-2a22a，

PF2=－（exP－a）=ac+c2+2a22a，

而PO平分∠A1PF2，结合三角形内角平分线定理，有PA1PF2=OA1OF2=ac，

则有ac+c2-2a22aac+c2+2a22a=ac，

整理可得c3－3a2c－2a3=0，

即e3－3e－2=0，亦即（e－2）（e+1）2=0，

解得e=2或e=－1（舍去），所以双曲线C的离心率e=2，故填答案：2．

0解后反思：根据圆锥曲线中的二级结论——双曲线的焦半径公式，结合点P的横坐标的确定得以求解对应的焦半径，利用三角形内角平分线定理来构建双曲线中的基本量a，b，c之间的关系式，最近通过对三次方程的求解来解决本题．利用焦半径公式法处理问题时，题目条件“k1=－k2=15”中的具体数据在实际求解过程中并没有涉及与应用，是本题的一个多余条件．

3問题商榷

当然本题也有一点小争议值得大家商榷，大多数解题者都认为平面几何中的“三角形内角平分线”这个条件和“直线的斜率互为相反数”这个数据，这两者之间，其中有一个条件是多余的，可见具体解决过程．

上述争议，是否代表着一种特殊命题方式与命题方向呢？在此类创新问题中，若题设中的条件如果少了，题目无法解决；但题设中的条件多了，对解题没有什么影响，而在于同学们选取其中哪一个条件进行解题，或解答过程中是否全面考虑题设中的所有信息条件等．

开放性条件或开放性结论，都是新高考创新性题型之一，而以上多余条件的开放命题方式有时也是一种不错的尝试，利用一些相关的方法解决时可以用到所有条件，而利用其他一些相关的方法解决时可以缺少其中个别条件，也给创新命题提供一个更加特殊的平台．