基于挑战性任务的初中数学拓展课教学研究
2023-07-22龚含笑
【摘 要】教育的本质是促进每一个学生的发展。本文在挑战性任务的相关理论支持下，分析与构建具有可操作性的初中数学拓展课差异化教学方案，并以“汉诺塔传说”为例，详细阐释方案中的核心要素、逻辑关系及具体流程，旨在满足学生的个性化需求，促进学生全身心参与数学研究，构建学生的数学思考，进而发展核心素养。
【关键词】数学挑战性任务；数学拓展课；差异化教学；汉诺塔
为了积极回应当今时代日益增长的不确定性对多样化人才的迫切需求，拓展性课程逐渐成为中小学课程的重要组成部分。［1-2］随着拓展性课程相关研究的不断深入，包括数学在内的学科类拓展性课程成为研究者关注的焦点。学科类拓展性课程属于知识拓展类课程，旨在拓展学生的知识面，激发学生的学习兴趣。［3］但已有的课程实践研究表明，知识类拓展性课程易异化为基础性课程内容的练习巩固与延伸。［1-2］拓展性课程着力于实施因材施教和个性化教育，提高学生的综合素质［3］，因而知识拓展类课程的建设更要以核心素养为导向，满足学生的个性化学习需求。初中数学拓展课是发展学生核心素养的有效载体，也是落实生本理念的重要窗口。在初中数学拓展课的教学设计与实施过程中，如何保证所有学生的全身心参与，让学生获得良好的数学体验？如何构建每位学生的数学思考，发展学生的核心素养？本文以课例为载体，设计并说明挑战性任务指导下的初中数学拓展课差异化教学方案，以期为初中数学拓展课教学的设计与实施提供线索。
一、基于挑战性任务的初中数学拓展课教学方案
拓展性课程具有差异性、综合性等特征［4］，一方面体现在学生根据自身兴趣自主选择课程，促进个性发展；另一方面体现在教师尊重个人选择，开发具有层次性的课程内容以满足学生的不同需求，发展学生的核心素养。数学核心素养本质上是学生围绕具有挑战性的学习主题，通过独立思考、互动交流逐渐形成的思维品质。［5］因此，在初中数学拓展课的设计与实施过程中，一方面要构建学生的数学思考，引导学生进行持续、深入的探究；另一方面，要给予学生更大的学习自主权和学习空间，允许个性化、差异化的学习进度的生成。已有研究表明，数学挑战性任务为构建学生数学思考和处理学生数学学习差异提供了一定思路。数学挑战性任务是一种具有高水平认知需求的数学任务，至少满足以下5个特征：（1）解决方案的多重可能性；（2）包含多个数学步骤；（3）开发提示性任务和拓展性任务；（4）既吸引人，又被大多数学生视为具有挑战性；（5）需花费较多时间完成任务。［6］基于此，根据对数学拓展课教学特征的认识［4］，以基于挑战性任务的数学问题链教学研究为基础［6］，融合刘美凤等关于差异化教学的研究成果［7］，本文构建了基于挑战性任务的初中数学拓展课差异化教学方案，如图1所示。
基于挑战性任务的初中数学拓展课差异化教学方案共十一个基本环节，涵盖教学的设计、实施和评价三个方面。
在设计阶段，“主题选取与创设”和“学生差异性分析”是设计的起点。“主题选取与创设”是影响学生学习动机与学习投入的重要因素，主要基于初中生学情及义务教育数学课程目标，选取某个知识点并创设恰当的主题，由此衍生出对学生而言具有一定挑戰性的学习活动。“学生差异性分析”为差异化的目标确定、内容安排提供依据。学生个体具有复杂性，学生之间的差异也是多元的，所以影响数学学习的主要差异在于认知水平、学习兴趣和学习能力三个方面：认知水平是指学生已掌握的知识技能；学习兴趣包含学生对数学本身及学习情境两个方面的兴趣，后者包括学习的主题以及学习任务的组织和呈现方式等；学习能力是指学生完成学习活动的能力，包括认知技能、学习策略以及对学习过程的管理与监控能力等。“内容针对性设计”主要包含挑战性任务的开发和提示性任务的设计：挑战性任务的难度具有层次性，主要利用提示性任务提高挑战水平与学生认知水平的匹配程度；提示性任务多样化的抽象程度与呈现方式有利于提升学生的数学学习兴趣，差异化的组织、指导、调控策略也为不同层次的学生提供学习支持。“目标层次化制订”以核心素养为导向，对课程目标的精细化与学生的差异性进行分析，主要包括数学的眼光、数学的思维和数学的语言三个方面。在这里，内容设计是目标制订的基础，同时目标也反过来检验内容的合理性，两者都旨在促使不同层次的学生得到充分且恰当的挑战。
在实施阶段，“分层学习准备”一般发生在课前，一方面为学生提供不同层次与形式的预习内容，另一方面开发个性化的学习任务以激发学生的学习兴趣，为课中的各个环节奠定基础。在课中，“挑战性任务导入”的重点是激起学生的求知欲与探索激情，尤其关注较低层次学生的准备状态与兴趣水平，适时提供提示性任务，引导每位学生都顺利进入学习活动。“多层次问题解决”与“多样化观点呈现”都在有设计的差异化关注中进行，促进学生开展主动、自主、有效的数学学习。“多层次问题解决”一方面提供多层次的提示性任务及情境，以帮助学生开展数学探索；另一方面对学生生成的多样化学习问题与需求进行针对性指导，为学生提供独立思考的空间与合作交流的机会，以建立同伴互助关系。“多样化观点呈现”以小组为单位，为学生提供对话的机会，促进学生进行自我反思。学生的数学思维通过这一过程得以重新梳理并利用语言加以外化，既为思维能力固化提供载体，又丰富活动的探究成果。“差异化评价总结”是指基于不一样的标准鼓励所有层次学生的学习成长，不仅对学习成果进行评价，还要加强学生对解决问题框架以及问题研究方法的关注。课后的“分层巩固提升”是针对层次化的目标设计满足学生多样化需求的分层作业、弹性作业或个性化的开放性作业。
在评价阶段，“多维度评价”兼顾过程与结果，既保障设计的合理性，又对实施效果进行反思：前者贯穿活动设计、实施的全过程，后者关注学生学习、师生关系、课堂文化等多个方面。
二、基于挑战性任务的初中数学拓展课教学设计与实施
为了更好地阐释上述教学方案的具体流程，以下以“汉诺塔传说”为例展示拓展课教学的设计与实践。
（一）教学设计
1.主题选取与创设
在过去的几十年里，汉诺塔是众多研究领域的研究对象，特别在数学、计算机科学和神经心理学等方面得到相当深入的研究。汉诺塔源于印度的古老传说，其中涉及数字变化规律等内容，蕴含化归、辩证等思想以及抽象、特殊化、逻辑推理、递推循环等方法，可作为九年级数学拓展课的主题。
汉诺塔传说源于印度：印度教主神梵天在创造世界时做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64个黄金圆盘，移动的规则是一次只移动一个圆盘，不管在哪根柱子上，小圆盘必须在大圆盘上面。这个传说预言，当所有圆盘都从梵天穿好的柱子上移到另外一根柱子上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
2.学生差异性分析
笔者通过测试分析、课堂观察、访谈等方法，发现学生之间的主要差异如表1所示。
基于上述分析，笔者将学生分成五组三个层次：两组基础层，两组一般层，一组拓展层。基础层的学生整体上对数字变化规律的掌握不够牢固，且接受能力不强，大部分时间属于被动学习，参与课堂讨论的积极性不高，甚至对传统的数学学习提不起很大的兴趣。一般层的学生数学学习质量一般，对于较为基础的数字变化规律的掌握尚可，有一定的上进心，但创新意识不足，无法独立解决较为开放、灵活的数学问题。拓展层的学生基础知识扎实，具有较强的自主学习能力，数学学习兴趣浓厚，求知欲望强烈，对于数学问题拥有独到的见解。
3.内容针对性设计
（1）任务层次：①从传说中抽象出数学问题。为基础层和一般层的学生开发提示性任务，提示性任务1为学生描述更明确的数学任务，提示性任务2引导学生简化情境，辨别相关与无关信息，确认关键量。为拓展层的学生开发拓展性任务（拓展性任务a），引导学生从数学的角度提出问题并用多种形式进行数学表征。②根据移动法则探索数字规律：为基础层和一般层的学生开发提示性任务（提示性任务3和4），引导学生通过减少圆盘个数来简化数学问题，探究数学规律。为拓展层的学生开发拓展性任务（拓展性任务b），引导学生思考任意个数圆盘移动所需的时间，引发深度思考。③分享探究过程与思路并形成结论（不区分难度）。
（2）任务情境：设计相关视频、图片，提供汉诺塔玩具等吸引兴趣低的学生。
（3）学习支持：灵活分组，建立同伴互助关系，创设自由的数学学习氛围；教师进行针对性学习指导。
4.目标层次化制订
（1）数学的眼光
基础层的学生能基于更明确的数学任务提出数学问题，发现关键量。一般层的学生能简单经历情境数学化，辨别相关与无关信息，确认关键量，从数学的角度提出问题。拓展层的学生能经历完整的情境数学化过程，从数学的角度发现问题、提出问题，并用多样化形式进行数学表征。
（2）数学的思维
基础层的学生能通过对汉诺塔的实践操作，采用图表等方法进行规律探索，并通过分工合作、计算反思等过程提升思维能力。一般层的学生能通过简化问题用数学的思维方法有逻辑地分析问题，通过独立思考与合作交流解决问题，发展思维能力。拓展層的学生能利用化归等数学方法有逻辑地综合分析问题，经历数学建模的全过程，发展高阶思维能力。
（3）数学的语言
学生都能基于不同的研究过程与方法分享成果与观点，从而培养数学交流能力，积累数学活动经验，提升数学情感。
（二）教学实施
1.分层学习准备
在课前，为学生设计不同难度的数式规律型练习以复习巩固相关知识，并为拓展层的学生准备等比、等差数列的通项公式与求和公式，及其推导方法与过程等拓展性知识。
2.挑战性任务导入
课上，首先通过视频呈现数学挑战性任务，适时为不同层次学生提供提示性任务。
【挑战性任务】大家觉得汉诺塔传说中的预言可能成真吗？这里蕴含着什么数学问题？
【提示性任务1】不考虑其他原因，预言中的世界毁灭与圆盘移动所需时间有关，那么计算圆盘完成移动所需的时间能够帮我们判断预言成真的可能性。时间会受到哪些因素的影响？
【提示性任务2】不考虑其他原因，为了判断预言成真的可能性，我们要重点关注什么？它与哪些因素相关？
【拓展性任务a】你能用符号、公式、图表等多种形式抽象出传说中的数学问题吗？
小组合作与师生交流同时进行，旨在从传说中抽象出数学问题。学生通过讨论发现，传说中的世界毁灭与圆盘移动所需时间相关，圆盘的移动可以是混乱的，也可以是有序的，而有序的操作可以减少移动步数。结合多位学生的回答及修改意见，最终师生共同归纳出传说中蕴含的数学问题——“64个圆盘按照规则完成移动至少需要多少步”。
3.多层次问题解决
学生以小组为单位进行思考、讨论，发现解决问题的关键在于如何根据移动法则提炼数学规律。在这里，基础层的学生容易出现“难以下手”的情况，教师要引导其从最简单的情况（圆盘个数为1）着手，通过分工（操作、检验、记录等）合作来完成任务并发现规律。对于一般层和拓展层的学生，教师要强调规律发现后的推理与反思，为观点呈现做铺垫。一般层的学生通过复盘、聚焦相邻圆盘的关系，重新梳理思考过程，并以表格为载体明晰各环节间的关联；拓展层的学生基于拓展知识，利用递推关系求数列的通项，进而通过严谨的代数推理得到精确的数学结论。
【提示性任务3】为了简化问题，我们可以减少圆盘的个数，从简单的情况着手进行数学探索。你能利用汉诺塔玩具进行实践操作活动，顺利完成游戏任务并发现规律吗？
游戏提示：在一次只能移动1个圆盘，大圆盘不能放在小圆盘上的操作规则下，借助过渡柱，把起始柱上的圆盘依次移到目标柱上。
【提示性任务4】64个圆盘太多了，你会如何处理？试着通过操作、观察等方式来发现其中的规律。
【拓展性任务b】你发现了怎样的规律？它对于任意个数的圆盘都成立吗？如何证明？
4.多样化观点呈现
各组发挥小组特色，分享问题解决的过程。学生不同的数学基础使得探索规律的思路各异，教师应密切关注学生处理问题时的数学思维，及时做好总结，从而更好地呈现学生的观点。
【观点一】从1个圆盘入手，通过假设、推理、判断、归纳等思维过程发现规律。移动1个圆盘只需1步，即将其移到目标柱上。当有2个圆盘时，第1个圆盘要先移到过渡柱上为第2个圆盘“让路”，第2个圆盘顺利到达目标柱后，再把第1个圆盘从过渡柱移到目标柱，共计3步。同理，当有3个圆盘时，第1、第2个圆盘都得“让路”。圆盘个数与完成移动所需步数的关系如表2所示。通过“1，3，7，15，31，…”的数列寻找规律，并与圆盘个数一一对应，得到“完成64个圆盘的移动至少需要（264-1）步”的结论。
【观点二】利用倒推法及整体的思想解决问题。先移动最大的圆盘到一根柱子上，将问题转化为移动剩下圆盘需要的步数，得到递推关系式，进而利用数列相关知识求解通项公式。其中，利用化归思想理解圆盘个数与完成移动所需步数的关系。比如，思考n个圆盘完成移动所需步数时，考虑到最后一个圆盘需要移到目标柱（1步），那么前（n-1）个圆盘必定已移动到过渡柱上，最后把这（n-1）个圆盘从过渡柱移动到目标柱即可。这里蕴含着整体的思想，即把前（n-1）个圆盘看作一个整体。如果记（n-1）个圆盘完成移动所需步数为an-1，n个圆盘完成移动所需步数为an，那么an=1+2an-1，基于数列的相关知识解得an=2n-1。因此，当n=64时，得到“完成64个圆盘的移动至少需要（264-1）步”的结论。
基于归纳得到的规律，学生能从数学的角度剖析预言成真的可能性。假设移动1个圆盘需要1秒，那么移动64个圆盘至少需要（264-1）秒，即大约需要5849亿年。教师适时总结，地球存在至今不过约45亿年，太阳系的预期寿命也不过100亿年，如果真的过了5849亿年，地球上的一切生命都早已灰飞烟灭了。
5.差异化评价总结
师生以问答的形式对学习活动进行回顾、总结，重点关注数学问题的发现、提出、分析、解决的过程。教师鼓励所有学生的进步：对于基础层的学生，教师从基础知识的运用情况、学习态度等方面进行评价，帮助学生建立数学学习的自信心，提高数学学习兴趣；对于一般层的学生，教师从知识的综合运用能力、思维结构层次等方面进行评价，引导学生优化学习方法和过程；对于拓展层的学生，教师从数学思想与方法等方面进行评价，肯定学生在探究过程中的成果，激发学生数学学习的内生动力。
6.分层巩固提升
教师布置课后弹性作业和开放性作业，学生自主选择并完成作业。
【弹性探究作业】（1）在保持其他规则不变的情况下，要求每次只能把圆盘移动到相邻的柱子上，继续探究汉诺塔问题。（2）在保持其他规则不变的情况下，增加一根柱子，继续探究汉诺塔问题。（3）九连环是一种智力玩具，它由九个圆环相连成串，以解开为胜，请探究解开九连环所需的最少步数。
【弹性拓展作业】（1）观看微视频《用二进制来解汉诺塔问题》，加深对递归算法的理解。（2）了解、构造并欣赏汉诺塔图。（教师提供视频及网络资源）
【开放性作业】撰写数学美文，可以参考以下主题：数学游戏的乐趣与情趣，有用的数学，数学的美观、美好、美妙与完美，等等。
（三）教学评价
本节课在教学设计过程的各个环节都进行了差异设计合理性的反思，比如主题能否吸引学生主动进入学习活动，任务的设计能否满足不同层次学生的需求，目标是否符合学生学情，不同层次的学生能否在学习活动中得到充分且恰当的挑战并达到目标。
对教学实践的评价包括实施过程与实施效果两个方面，主要综合分析了课堂观察、课后访谈以及学生的数学作文，旨在关注不同层次的学生在各个方面的表现。本节课采用分组的形式，开展了组内互助活动，学习氛围自由融洽；学生具有较高的学习兴趣和活动参与度，大部分学生表示自己参与了合作学习，得到了教师的针对性指导，还大胆表达了自己的观点，最终顺利完成任务；教师将主动权交给学生，并通过针对性反馈指导不同层次的学生解决问题。此外，差异化的任务（提示性任务与拓展性任务）对于推进学习活动起到关键性作用，尽管少数学生指出活动前期存在一定的困惑，但提示性任务与游戏玩具在很大程度上帮助他们及时进入活动并成功完成任务。
三、结语
促进学生的个性化发展是现代教育的目標，而教学过程中如何处理好面向全体学生与关注学生个体差异的关系也一直是课程改革关注的重要问题之一。学生的数学学习能力、学习兴趣、学习风格等存在差异，因此必然具有不同的发展需求，如何认识并发挥每个学生的潜力是数学教师应当关注的问题。本文在挑战性任务的相关理论支持下，构建了具有可操作性的初中数学拓展课差异化教学方案。在教学设计与实施的过程中，一方面促进每个学生的全身心参与，让学生获得良好的数学体验，另一方面力图构建每个学生的数学思考，发展学生的核心素养。相信只要数学思考不停，学生就可以掌握适合自己的思维方法，获得对数学本质的认识，从“学会”走向“会学”，乃至“乐学”。
参考文献：
［1］柯孔标.义务教育拓展性课程的理论与实践探索［J］.课程·教材·教法，2019（3）：30-35.
［2］斯海霞，叶立军.浙教版初中数学拓展性课程教材编写特点及改进建议［J］.数学教育学报，2019（6）：16-20.
［3］浙江省教育厅办公室关于建设义务教育拓展性课程的指导意见［EB/OL］.（2015-09-18）［2023-04-19］.https：//www.zj.gov.cn/art/2015/9/18/art_1229400468_59052567.html.
［4］叶立军，董婷婷.义务教育阶段数学拓展性课程教学特征及策略研究［J］.中小学教师培训，2019（4）：56-58.
［5］史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养：史宁中教授访谈之七［J］.课程·教材·教法，2017（4）：8-14.
［6］龚含笑，唐恒钧.基于挑战性任务的数学问题链教学研究：基于“余弦定理”的教学探索［J］.中学数学，2020（5）：13-15，18.
［7］刘美凤，刘文辉，梁越，等.差异化教学何以施行：班内多层次教学方案的设计与实施［J］.中国电化教育，2022（1）：124-133.
（责任编辑：潘安）
