泵站空管启动充水过渡过程的波追踪计算方法

2023-07-20曾宗耀阴鑫月王玉川杨建国

中国农村水利水电 2023年7期

曾宗耀，阴鑫月，秦豪，王玉川，杨建国

（1. 西北农林科技大学，陕西杨凌 712100； 2. 渭南市东雷抽黄工程管理中心，陕西合阳 715300）

0 引言

空管启动充水过程是泵站输水系统和管网中重要的水力过渡过程之一，期间易出现电动机过载和管道压力波动等危害泵站安全稳定运行的现象［1-3］。计算分析泵站空管启动充水过渡过程可以指导工作阀门的开启规律和管路防护措施的布置［4，5］。

泵站空管启动充水过程作为有压管道充水过程，目前的水力过渡过程计算模型有刚性水柱模型和弹性水柱模型［6］。弹性水柱模型是基于特征线法和界面追踪法相结合的模型，即假设在整个充水过程中水气交界面与管轴线垂直，在水柱长度不断变化的过程中追踪水气交界面的位置，其中交界面一侧的有压流采用特征线法求解，另一侧的气体流按照惯性气体的状态方程求解［7，8］。相比较而言，刚性水柱模型计算效率高但计算精度较低，而弹性水柱模型虽然计算精度高，但特征线网格内部节点的求解增加了计算量。

虽然特征线法与界面追踪法可以模拟泵站输水管路空管启动充水的水力过渡过程，但特征线网格的特点决定了特征线法难以实现节点之间水气交界面边界条件的准确描述。波追踪法的理论基础与特征线法一致，但通过对空间量x而非时间量t的微分与转化，使得过渡过程计算的物理意义更加明确、计算量更小，且能更精确地对交界面进行追踪［9］。计算结果和实验结果对比发现［10］，波追踪法在计算精度和计算效率的博弈中显得更为灵活，基于其建立的计算模型分类介于刚性模型与弹性模型之间。

利用波追踪法与界面追踪法建立了泵站空管启动充水过渡过程计算的刚性模型和弹性模型；计算了某泵站空管启动充水的水力过渡过程特性，通过对比计算结果与实验结果验证了计算模型的可靠性。研究对泵站空管启动充水过程水泵工作参数和水锤波的变化规律及其计算提供了理论指导。

1 数学模型

1.1 泵阀模型

泵站输水系统示意图如图1 所示，由于进水池-水泵-阀门之间的管道较短，且进水池水位变化很小，故忽略进水管道的影响，将进水池视为水泵进口处的恒压边界。同时，为了简化水泵和泵后阀门之间的关系，把两者当成一个整体作为统一的边界。

图1 泵站输水系统示意图Fig.1 Water conveyance system of pump station

阀门流量与压降关系有：

式中：Q为通过阀门的流量；hr为水泵吸水侧水头，即进水池水位；Δhpu为水泵扬程；hv为阀后水头；τ为阀门相对开度；Cv为阀门全开水头损失系数。

在泵站空管启动充水过程中，阀门动作将在阀处产生升压波向出水池方向传播，同时受到充水水柱自由液面处反射回来的降压波影响，故阀后水头、流量及降压波的关系有：

式中：f为反射返回阀门处的降压波；hv为阀后水头；hv0为阀后初始状态的水头；a为水锤波波速；g为重力加速度；A为阀后管道面积；Q为通过阀门的流量；Q0为阀后初始状态的流量。

由于在空管启动充水过程中，泵后阀门在水泵转速达到额定转速后才开启，故泵阀模型可以分为两阶段，第一阶段，水泵启动，泵后阀门不开启；第二阶段，水泵保持额定转速转动，阀门按启动规律动作。对于第一阶段，阀后输水管道并未充水、流量为零，而在水泵处，随着水泵转速持续增加，水泵扬程亦持续增大，可由全特性曲线插值计算得到。第二阶段，泵阀作为一个典型的边界，此时水泵转速保持额定转速，故联立方程（1）、（2）并对水泵全特性曲线中额定转速下的Q-Δhpu曲线进行插值，即可求得泵阀模型的Q、Δhpu与hv。

1.2 弹性模型

为了确定泵站空管启动充水过程中输水管道内水气交界面的位置，假设水气交界面垂直于管轴线，这是因为水气交界面在整个充水水柱中所占比例较小，水气交界面的形态对充水瞬变流的整体影响并不十分明显。

如图1 所示，对于t时刻已充满的管道，可建立波追踪方程［11］：

式中：F（x-a t）为管道任一点x处的初生波；F（x0-a（t-x/a））为Δt1时间间隔前阀门处产生的初生波，Δt1=x/a；Rx为衰减系数，Rx=λ x/2g d A2；Q为Δt1时间间隔前通过阀门的流量；Q0为阀后初始状态的流量；f（x+a t）为x处的反射波；f（xl+a（t-（l-x）/a））为Δt2时间间隔前水气交界面处反射产生的反射波，Δt2=（l-x）/a；Rl-x为衰减系数，Rl-x=λ（l-x）/2g d A2。

需要说明的是，在波追踪方程的损失项中，考虑水力系统是低摩阻系统［12］且管道波速值大，用Δt1时间间隔前通过阀门的流量代替了流量平均值，当计算的时间间隔取得足够小时，误差可忽略。长距离输水管道计算中，可采用在充水水柱内部增设计算边界点的方式来保证计算的精度，内部计算边界点处水锤波的反射和传播由波守恒定律［11］计算。

水气交界面作为已充满段的边界，在此边界上由波追踪方程有：

式中：f为水气交界面处产生的反射波；F为传播到此处的初生波；h为交界面压力水头；h0为交界面位置水头，其值为基准高程的相对负值，即当位置高程高于基准高程时取负值，低于基准高程时取正值。当输水管道随地势起伏时，交界面位置水头将反映管道高程的变化，并将此变化以反射波的形式传播回泵处。

水气交界面压力水头由管中气体压强决定：

式中：p（t）为此时刻的管中气体绝对压强；pa为大气压强；ρw为水的密度；g为重力加速度。

气体压强由气体状态方程有：

式中：ρ（t）为此时刻的管中气体密度；Rg为空气气体常数；T为空气温度。

气体密度由质量守恒定律有：

式中：ρ（t-Δt）为前一时刻的管中气体密度；lg为前一时刻末的管内气柱长；A为管道横截面积；Qm，air为气体出流质量流量；Qw为交界面处充水体积流量；Δt为计算时间步长。

由气体孔口出流公式［13］，气体出流质量流量为：

式中：C为孔口出流流量系数；Aout为孔口面积；γ为空气绝热指数；p（t-Δt）为前一时刻管中气体绝对压强；ρa为大气密度。

联立式（5）～（9），可得：

在实际工程中，存在以下两种典型的特例：

（1）当为短管敞开式排气时，则p(t) =pa，故有：

（2）当为封闭式管道时，则Aout= 0，故有：

式（10）中，除交界面充水流量Qw外，其余参数皆为已知参数。

水气交界面处充水流量由波追踪方程可得：

式中：Qw为水气交界面处流量；Qw0为水气交界面处初始状态的流量。

联立式（10）、（13），即可求解此时刻水气交界面处各状态参数。

同时，输水管道快速充水，已充水管道长度持续变化，故在整个计算过程中需不断计算已充水管道长度，由体积法可得：

式中：l0为前一时刻的已充水管道长度；Δt为时间步长。

至此，通过泵阀模型和弹性模型的联立即可求解泵站空管启动充水过程，计算流程图如图2 所示。水泵转速未到达额定转速之前，仅通过插值水泵特性曲线求得机组扬程。当水泵转速到达额定转速时，首先由阀门开启规律求解阀门开度；其次求解泵阀模型得到阀后的流量及水头，从而可得阀门处的初生波；再次通过式（3）算得一定时间间隔后传播至水气交界面处的初生波，然后由式（10）与式（13）联立求解反射波，再按式（4）计算得到某时刻后重新传播至阀门处的反射波，用以求解后续时刻的泵阀模型方程。各个时刻管道水柱长度可通过式（14）更新。

图2 弹性模型和刚性模型求解计算流程图Fig.2 Flowchart of the rigid column model and elastic column model

1.3 刚性模型

刚性水锤理论忽略了管壁的弹性并假设计算管路中的水是不可压缩的，简便了计算。通常认为刚性水柱模型在阀门开启历时Ts＞L∕1 000（L为计算管道长度）时精度是可以接受的［14］，这表明对于较短的空管而言，其计算结果是有意义的。

如图3 所示，短空管中的水体状态由连续性方程和动量方程进行描述。

图3 刚性模型管道主要参数示意图Fig.3 Pipeline main parameters in the rigid column model

连续性方程：

式中：A为管道截面积；θ为管道倾斜角；hs为自由液面测压管水头；Qp为流量。

动量方程：

式中：l为水体长度；hp为1-1 断面测压管水头；f为摩阻系数；D为管道直径。

对连续性方程及动量方程求积分并取相应近似［12］，有：

与

由波追踪法的基本方程，可得与短空管串联的压力管道连接处1-1的流量、水头及波参数关系如下：

联立（17）、（18）、（19）、（20）四式，则得：

同理，hs、hp、fp皆可求得。

由刚性水锤理论，已充水段长度lt与hs有关系式如下：

通过泵阀模型和刚性模型的联立亦可求解泵站空管启动过程，计算流程图如图2所示。

2 实验测试

为验证本文提出的计算模型的准确性，对东雷抽黄工程的南乌牛二级泵站空管启动充水过程进行现场实验。南乌牛二级站为单机单管出水的提灌泵站，输水系统示意图如图4所示，主要包括一个进水池和一个出水池，出水池与水泵安装高程的高程差为107.1 m；一台水泵机组，其额定扬程为113 m，额定流量为4.57 m3∕s；水泵出水口后设置蓄能罐式液控止回蝶阀和偏心电动半球阀，考虑蝶阀全开时仍将带来水头损失，故在计算中将两个阀门作为一个整体考虑，两阀门皆全开时水头损失系数取为0.016；出水管道由直径为1.2 m、长12 m 的直管及直径为1.6 m、长365 m 的埋设直管+倾斜管道组成，糙率为0.011，水锤波速为1 000 m∕s。

图4 南乌牛泵站输水系统Fig.4 Water conveyance system of Nanwuniu pump station

南乌牛二级站半球阀两侧管道用旁通管连接，故在初始时刻，出水管道内水柱自由水面高程与进水池水面高程相等，此高程以下的管道为满管状态。在水泵开启过程中，蓄能罐式液控止回蝶阀全部打开，而偏心电动半球阀先是关闭，当4.5 s 时水泵转速达到额定转速后开启，在30 s 内匀速开至最大开度，阀门开启过程中的流量特性为直线-等百分比型。当半球阀开启后，在水泵扬程的作用下，管线开始充水，充水水柱的长度、流速及阀门开度变化如图5 所示，整个过渡过程中水泵参数的变化见图6，整个充水过程中，阀门处水锤波函数变化如图7所示。

图5 充水水柱的长度、流速和阀门开度变化过程Fig.5 Change process of water column and valve opening

图6 水泵参数变化过程Fig.6 Change process of the pump parameters

图7 水击波参数变化过程Fig.7 Change process of the wave parameters

3 计算和实验结果分析

从图5 可知，管内初始水柱长为56.5 m，这是因为南乌牛泵站输水系统的半球阀前后由旁通管连接，充水开始时在进水池水位相同高程以下的管道皆为满管。阀门开启后，管道充水流速先快速上升，在25 s 到达最大值3 m∕s，之后缓慢下降，在90 s左右下降变快，直到122 s 充水过程结束达到稳定的管道出流速度2.4 m∕s。这个过程是水泵的特性导致的，在阀门开启伊始，阀门两侧压力差可以视为额定转速时的关阀扬程，其值约134 m，在此大压差下，稍一开阀，充水流速就开始迅速上升。

由图6可以看到，随着水泵流量迅速增大，水泵扬程快速下降，水泵工况快速变化，电动机功率不断增大，这一过程在水泵特性曲线上的表现即为工况点快速扫掠形成过渡过程线。随着流量的不断增大与水泵扬程的不断下降且充水水柱自由液面高程逐渐爬升，在25 s 时阀门前后压差恰好等于阀门局损，流量不再增加，此时水泵流量到达最大值6 m3∕s，水泵扬程亦到达最小值29.5 m，功率达到最大值，若此时充水过程恰好结束，充水水柱自由液面不再上升，那么输水系统各项参数将就此达到稳定。但从图5 看到，此时充水水柱长度刚刚到达109.5 m，充水过程远未结束，故随着自由液面不断升高，阀后压力水头增大，阀门前后压差减小，管道充水流速、水泵流量下降，水泵扬程不断回升以保持流量趋向稳定。在这种水面高程、水泵流量与扬程的共同作用下，管道充水不断进行，充水过程在122 s时完成。此后水泵扬程与流量保持稳定，稳定工况水泵扬程为108.6 m，水泵流量为4.84 m3∕s。

由图6 可知，两种模型计算得到的结果与实验测得的物理过程一致，弹性模型和刚性模型的计算结果相差很小，这是因为南乌牛泵站出水管道为低摩阻短管，且波速较大，整个过渡过程刚性模型计算的精度是可行的，因考虑管道和流体弹性而计入的损失是有限的。在空管充水过渡过程中，水泵扬程变化曲线基本重合，表明基于波追踪法建立的数学模型计算结果能准确地反映整个水力过渡过程。然而，计算与实验得到的水泵流量变化不完全重合，其原因是计算时采用的是水泵出厂时的特性曲线，而实际上南乌牛泵站的水泵机组已运行多年，水泵特性不可避免地发生一定的变化，正是这种水泵机组特性差异导致了计算结果与实验结果的差异。从图6 差异段可以分析，在高效区附近，相同的水泵扬程下，水泵的输水流量变小，即水泵效率下降，这是符合泵站运行规律的。

图7 为波追踪法计算得到的阀后波参数变化过程，从中可以看出，在阀门开启后，由于流量的增大，输水管道中产生一个升压波F，由于管内水柱短且波速大，此升压波经传播-反射-传播后又以降压波f的形式到达阀门处，中间时间间隔很短。在整个充水过程中，阀后压力水头体现了初生升压波F与反射降压波f的共同作用，阀门甫一开启，由于反射波尚未产生，在阀后产生一个明显的压力上升，当反射波不断传播回阀门处，压力上升即得到抑制；随着管道充水的进行，阀后压力水头不断上升，当充水过程结束，初生波、反射波及压力水头也到达稳定。从压力的角度分析，初生波与反射波的共同作用是以静压形式存在的。