关注学生思维过程 落实数学核心素养

许家钊

［摘  要］ 为了发挥数学的学科特点，落实学生的数学核心素养，教师要引导学生经历信息提取、分析、处理、整合、推断等过程，以此提升学生数学分析和数学运算的能力；要放手让学生进行解题探究和解题拓展，让学生在探究和拓展中抽象出共性，促进数学抽象和数学建模能力的提升；要平衡直觉想象和逻辑推理的关系，使其相互促进，协调发展. 教师只有将“教”与“学”有机地结合在一起，才能实现自身的教学水平和学生的学习能力全面提升.

［关键词］ 思维过程；核心素养；教学水平；学习能力

高三第一轮复习后，学生的“双基”得到了稳固提升，二轮复习正是由知识向能力转化的黄金期. 在本轮例题教学中，教师应关注学生的思维过程，关注解答思维的自然生成，通过有的放矢的引导有效提升学生的数学核心素养. 不过，在现实课堂教学中，为了实现“多讲”“多练”，部分教师常常忽略学生的思维过程，例题讲解以自身经验和标准答案为主，这样的例题教学显然难以激发学生的学习兴趣，实现解题能力的提升. 为了改变这一现状，提升二轮复习的教学品质和学习质量，落实数学核心素养，笔者提出了几点教学策略，仅供参考.

注重数据分析，优化数学运算

数据分析和数学运算是学生应具备的基本能力，它的强弱直接关系着解题效率. 众所周知，高考试题综合性强，信息量大，内涵丰富，若想成功解决问题就要先从大量数据中提取出有价值的信息，继而通过信息分析、处理、整合、推断，形成解题思路. 但学生的数据分析和数学运算能力并不是一朝一夕养成的，也不是靠灌输就能提升的，它往往需要一个漫长过程. 在教学中，教师应引导学生亲身经历信息甄别、筛选、重组等过程，呈现学生的思维过程，从而通过巧妙的引导帮助学生冲破表层所设置的“迷雾”，厘清问题的来龙去脉，形成准确的解题思路.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线相交于点M，求证：点M在定直线上.

从学生的解答反馈来看，学生都能顺利地求得椭圆C的方程为x2+4y2=1. 对于第（2）问，大多数学生感觉题设信息复杂，不知该从何下手. 为了帮助学生重拾解题信心，教师没有直接给出解题过程，而是与学生共同分析，引导他们自主发现解题的突破口.

师：第（2）问涉及哪些几何条件？

生1：动点P在抛物线E上，直线l是E在点P处的切线.

生2：直线l交C所得的线段AB的中点为D.

师：接下来思考一下，这些条件与哪些知识相关？

生4：用导数的几何意义来研究过动点P的切线l.

生5：由切线l与椭圆C相交，应用方程组、韦达定理求直线OD的方程.

师：很好. 不过除了应用方程的思路外，是否还有其他思路？（学生陷入沉思）

生6：若能求出切线方程，应该还可以运用垂径定理求解.

师：大家分析得非常有道理，谁来简述一下求解思路及过程呢？（教师预留充足的时间让学生思考求解）

以上解法自然，思路清晰，既展现了数据分析的“成果”，又体现了学生的运算素养.

师：思考一下，若适当组合条件，能否找到其他的解答方案呢？（让学生独自思考）

生8：已知点D为弦AB的中点，是否可以应用“点差法”计算呢？

解后反思 数据分析与数学运算密不可分，前者重在指引，后者重在落实，是实现由“理解”到“实践”的尝试与发现的过程. 通过数据分析所提取的信息可能有不同的组合方式，因此会形成不同的解题思路，产生不同的运算过程. 为了优化运算过程，学生要综合考量，对比利用不同思路解答问题的难易程度，并预判解题过程中需要突破的难点及算法的优劣，从而合理布局，找到解题的最优途径，以此达到优化运算过程，提升运算效率的效果. 例1是解析几何运算的典范，虽然从代数角度分析更易于形成解答思路，但是运算过程烦琐；若结合几何特征，通过点差优化，则更易实现目标. 在二轮复习中，教师应尝试引导学生从不同角度重组数据，这样不仅可以优化运算过程，而且能够培养学生思维的深刻性，有助于提升学生的数学素养.

关注数学抽象，深化数学建模

数学抽象是一个弃异求同的过程，即舍弃那些非本质属性和非本质特征，抽取共同的本质属性和本质特征，既体现了化特殊到一般的思维过程，又呈现了透过现象发现本质的思维品质. 在数学学习过程中，学生普遍感觉数学概念、定理、公式等内容是抽象的，是难以理解和记忆的，究其原因是数学概念、定理等大多是从大量信息中获取、概括、抽象出的一般性结论，其所呈现的都是问题的本质属性. 在解题过程中，学生只有抓住问题的本质，才能以不变应万变，找到普适性的数学思想和方法，以此提升自身的解题能力. 仔细分析数学抽象过程不难发现，其中含有数学建模的过程. 数学建模是重要的数学思想方法，它舍弃了对象除空间形式和数量关系外的各种性质，保留了数学的本质内容，是对实际问题的高度抽象. 想要发展学生的数学建模能力，教学中教师就要培养学生的数学抽象能力.

师：思考一下，例2的实质是一个什么问题呢？

生9：是一个极值点偏移问题.

师：此类问题也是高考的一个重要考点. 这里的“偏移”是相对什么而言的？（学生深思）

生10：相对函数的极值点而言.

师：很好，因函数极值点左右小范围内的“增速”不同，使得函数图象的对称性被打破，是一种特殊的非对称图象. 如何用代数语言来表述呢？

师：很好，这样从数与形两个方面揭示了极植点偏移问题的特点，接下来我们如何求解呢？

师：很好，经过以上分析，相信大家的解答思路已经基本形成，请大家尝试用不同的方法完成證明.

师：分析以上求解过程，你能总结归纳出解决此类问题的策略吗？

师：很好，其最终目的都是通过变形构造函数，将双变量函数换元转化为单变量函数，建构出齐次式.

解后反思 以上教学中，教师鼓励学生从不同角度去分析，应用不同策略求解，其目的不是简单地呈现多种解法，而是尽可能地呈现学生的思维过程，展现不同解法的自然生成过程，将不同的解法内化至原有的认知结构，以此帮助学生积累解题经验，优化认知结构. 同时，在解题过程中，通过对比分析、总结归纳，让学生抽象问题共性，发现解题通法，如上述的极值点偏移问题，利用“消参—减元—构造”这一共性通法求解. 借助这一数学模型，学生可以快速形成解题策略，提升解题效率.

利用直观想象，强化逻辑推理

直观想象、逻辑推理是数学核心素养的重要组成部分，两者既有独立性，又相互交融，解题时缺一不可. 直观想象是以知识、经验为依托的一种创新思维，其表现着“熟能生巧”的学习理念，是知识迁移的重要体现，是对所研究的数学对象的直接感知和认识. 不过，直观想象所获得的猜想并不能成为最终的结论，必须有严谨的推理和论证过程. 若在解题过程中仅有直观想象而没有严谨论证，则这样的解题过程是不完整的，难以体现直观想象的价值. 在解题过程中，学生不应停留在简单的感性认知阶段，应追求理性论证，做到每步都有理有据.

例3 若函数f（x）=x2（x－2）2－ax－1+a有4个零点，则a的取值范围为________.

师：研究函数零点问题涉及很多思路，如函数方程、等价转化、数形结合等. 对于例3，你认为用哪种思路求解更方便呢？

生14：本题若直接用解方程的思路求解，运算可能会比较复杂，不妨将其转化为两个函数图象交点个数的问题. 我认为此题用数形结合的方法求解更合适.

师：分析得很有道理，大家思考一下，具体如何求解呢？（题目较复杂，教师预留充足的时间让学生思考）

解后反思 对于同一问题，思考的方向不同，选择的解题方法也有所不同，至于用哪种方法才会使解题过程最简，需要直观想象的指引. 如例3是关于函数零点个数的问题，解决此类问题往往有不同的思路，对于“如何选”需要学生借助已有经验先科学判断，再通过逻辑推理进一步验证. 此类问题涉及转化与化归思想、数形结合思想，包含构图能力、识图能力、用图能力，对思维的严谨性、灵活性有较高的要求，只有当学生具备一定的综合素养，才能“突破重围”，顺利解题.

核心素養的六大组成要素既独立，又相互交融、相互影响，教学中教师切勿顾此失彼. 在高中数学复习中，例题教学是必不可少的，因此如何应用典型例题来培养和落实学生的核心素养是值得教师深思的问题. “以师为主”的数学课堂是在教师的精心预设下进行的，很多看似自然生成的过程，实则是教师“灌输”的结果，虽然实现了教师所追求的“大容量、高速度”，却没有让学生的学习能力得到明显的提升，其教学是低效的. 因此，教师要变“以师为主”的教学方式为“以生为本”，要学会放手，让学生自主探寻解题之道. 但只会解题肯定是不够的，更重要的是能让学生理解问题的本质，挖掘出解决问题的通法，即学生不仅知其然，还知其所以然.

总之，在高三二轮复习中，教师要将解题主动权交给学生，充分调动学生的主观能动性，关注数学课堂的自然生成. 同时，教师要为学生营造一个自由的、开放的学习空间，鼓励学生多互动交流，展现解题过程，以此助力学生积累经验，完善认知体系，提升学习效率.