基于“直观想象素养”培养的高中数学教学研究

郭培华

［摘  要］ 数与形是数学研究的基本对象，也是发展学生直观想象素养的关键. 文章从直观想象素养的内涵与构成出发，以“直线与平面平行的判定”的教学为例，认为课堂教学中培养学生的直观想象素养可以渗透在情境创设、实践操作、验证猜想、质疑辨析、例题应用、提炼总结等教学环节.

［关键词］ 直观想象；图形；操作

发展学生的数学核心素养是数学教学的主要目标. 何为核心素养？核心素养并非具体的知识与技能，亦非一般意义上的能力，而是一种具有特定意义的综合能力. 它以知识与技能为基础，又高于具体的知识与技能，反映了数学思想与本质，具有综合性、整体性与持久性特征. 直观想象素养是数学核心素养的六大要素之一，是指利用几何直观与空间想象来感知数学事物的变化与形态，借助图形解决实际问题的过程.

直观想象素养的内涵与构成

直观想象素养主要包含几何直观与空间想象，两者虽有关系，但有着质的区别，从某种程度而言，空间想象依赖几何直观. 克莱因提出：数学依靠的是直观，而非逻辑［１］. 这里提到的数学直观是指学习者对概念、定义或证明等直接把握的程度. 几何直观能从图形出发，整体把握与理解知识，借助图形描述与分析问题，体现感性认识到理性认识的发展过程［2］. 空间想象是指学习者对数学事物的空间形式观察与分析的过程.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》从问题与情境、知识与技能、思维与表达以及交流与反思几方面对直观想象素养进行了三个水平的规定，揭示了其在四个构成部分的不同要求. 经梳理，直观想象素养的构成情况见图1.

直观想象素养的构成图不仅呈现出了不同层次的不同要求，还强调了数形结合的重要性，厘清了几何直观与空间想象之间的关系与作用，对发展学生的数学核心素养具有一定的指导意义.

直观想象素养的培养措施

1. 情境创设，直观感知

高中数学知识相对抽象，若想让学生对数学学科保持持久的学习兴趣，教师可通过创设丰富的教学情境引发学生对知识的直观感知，体验数学学习乐趣.

情境创设时，应注意以下几点：①遵循目的性原则. 根据核心知识创设情境，让学生明确探索方向，使得情境富有教学价值.②与学生认知相匹配. 高中生的心智与思维发展迅速，针对学生身心特征创设的情境，能有效引发学生的直观感知，为建构新知奠定基础.③遵循现实性原则. 情境素材的选择对学生的直观感知有着直接影响，越真实的情境，带给学生的体验越丰富，教学效果越好.④遵循趣味性原则. 情境的创设关键在于吸引学生对所学知识的兴趣，新颖、生动、风趣的情境能从较大程度上调动学生的积极性，让学生对知识产生更多的直观感受.

课堂伊始，教师带领学生回顾直线与平面存在的三种位置关系，并以图2展示如何利用图形与符号表示这三种位置关系，让学生在直观的视觉中巩固旧知，为引出直线与平面的平行关系奠定基础.

如图3所示，用多媒体展示飞龙湖乌江大桥，要求学生说说桥与湖面有怎样的位置关系. 当学生提出桥与湖面为平行关系时，教师追问如何确定它们为平行关系，学生从公共点的角度进行分析，最终一致认为直线和平面都具有无限的延展性特征，想要探寻它们是否存在公共点实在太难了，因此需要探寻出一种更加简单实用的判定方法来确定它们是否为平行关系.

学生用文字语言、图形语言与符号语言表达直线与平面的位置关系，起到巩固旧知并揭示本节课教学主题的作用. 利用多媒體展示桥与湖面的位置关系，让学生从直观视觉中初步判断直线与平面的位置关系，成功地激发了学生的探索欲，使学生带着明确的问题（核心问题）进入新的教学环节.

2. 实践操作，思维辩证

数学实践操作指通过手脑并用的方式“做中学”，即学生借助剪刀、纸张、尺子、计算机等工具进行数学探究与验证活动，力图让学生通过实操主动探究知识形成与发展的过程，为形成良好的辩证思维与创新意识积累经验. 随着时代的发展，如今的实践操作除了在传统意义上动手，还涵盖多媒体操作，如常见的几何画板的应用，可以给学生带来手动操作无法企及的视觉效果，让学生在直观中对知识本质形成客观、辩证的认识.

实操设计：要求学生取两支铅笔，将它们视为两条直线，让它们处于平行状态，保持其中一支铅笔不动，另一支铅笔沿着与静止的那支铅笔异面的直线进行平移，获得一个平面. 边操作边观察：静止不动的铅笔与另一支移动的铅笔所形成的平面具有怎样的位置关系？

学生实操与观察后总结出：静止不动的铅笔所在的直线与移动的铅笔所形成的平面是平行的关系，同时移动的那支铅笔所在的直线一直位于形成的平面内.

师：请大家根据以上操作过程与获得的结论来分析，一个平面外的直线与其平行应该具备怎样的条件？

借助多媒体的动画功能，学生经探索得出如下猜想：要使平面外的某一条直线与该平面平行，需让这条直线与平面内的一条直线为平行的关系.

借助铅笔、多媒体等进行实践操作，不仅让学生对直线与平面平行的位置关系有了直观认识，还对判定方法形成了初步猜想. 在教师适当的引导与动手操作中，学生积极主动地进行思考、探索，为直观想象素养的形成奠定了基础.

3. 验证猜想，建构新知

数学学习讲究严谨性，猜想的形成只是对知识的初步认识. 至于猜想是否科学合理，还需进一步验证. 随着科技的发展，多媒体的普及，一些原本需要耗费大量人力、物力与时间的操作活动，可用先进的多媒体技术代替，学生从它们的演示功能中能直观发现知识形成与变化的过程.

在验证猜想的过程中，学生经历尝试、观察、预设与检验等环节，从中体验知识与研究方法的关系，而多媒体的应用则是一种先进的“做中学”，为教学带来了更强的视觉冲突，提高了学习效率. 因此，多媒体是验证数学猜想的工具，大家应利用好它的教学功能.

待验证的猜想为：要使平面外的某一条直线与该平面平行，需让这条直线与平面内的一条直线为平行的关系. 用符号表达为：如图4所示，a？埭α，b？奂α，a∥b，那么a∥α. （用PPT展示）

为了明晰学生的思路，要求学生将验证互动分成以下两步进行分析：①直线a，b共面吗？②直线a和平面α是否平行呢？

学生借助几何画板通过反证法的应用，很快就验证了以上猜想是成立的，并提炼出了相应的定理（教师用PPT展示相应的文字与符号）. 简而言之，即“线线平行，则线面平行”. 这是将空间问题（直线与平面）转化成平面问题（直线与直线）的过程.

借助几何画板，应用反证法对猜想进行验证是发展学生数学空间想象力的过程，也是促进学生数学逻辑推理能力发展的过程，学生在此过程中容易形成科学、严谨、周密的学习态度. 因此，利用好多媒体的教学辅助功能，发展数学思维的严谨性，对验证猜想具有重要作用，亦是促进核心素养发展的关键.

4. 质疑辨析，深化理解

疑者觉悟之机也. 当学生对教学内容有了明确的认识后，并不代表学生已经深刻理解并掌握了知识本质. 想让学生全方位、无死角地认识知识本质，还须教师提出一些与原命题相近的问题引发学生产生疑惑并自主辨析. 当学生对直线与平面的平行关系有了明确认识后，教师可以设计如下几个问题，以激发学生思考.

问题1：判断以下命题是否正确.

（1）如果a？埭α，a∥b，那么a∥α；

（2）如果b？奂α，a∥b，那么a∥α；

（3）如果a？埭α，b？奂α，那么a∥α.

这三个命题是学生在后续应用中容易出现的错误，教师将这些问题罗列到新知教学课堂中“试错”，能够让学生避免在后续应用中发生这些错误，而且可以深化学生对线面平行的认识：①线必须位于面外；②一条位于面内的直线与面外的直线平行. 两者缺一不可.

问题2：如图5所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，与棱AB平行的平面有______；与平面ABB′A′平行的棱有______.

这是用定理来处理实际问题的过程，为接下来的定理应用奠定基础. 学生的思维在以上几个问题的探索中，由浅入深，由具体上升到抽象，再由感性逐渐转化到理性，这是从真正意义上激发学生思考的过程. 学生在每个问题的探索中，亲历动手操作、直观感知、思辨与推理等过程，尝试从不同维度审视线面平行的判定定理，进一步深化对该定理的认识.

5. 例题应用，发展思维

发展学生的直观想象素养与例题教学有着密不可分的联系，一个好的例题往往蕴含着丰富的数学思想，尤其是数形结合思想、化归思想等，能让学生在直观的图形或问题中获得“解一题通一片”的能力［3］. 由浅入深、知识联系、透彻理解与总结反思四个环节是应用例题发展数学思维的关键，亦是让学生达到境界“俯瞰众题都会解”的保障.

例1 如图6所示，在四棱锥A－DBCE中，已知底面正方形BCED的对角线交点为O，AE边的中点为F. 求证：AB边与平面CFD平行.

解析 连接FO，证得FO为△ABE的中位线，则AB∥FO，结合线面平行定理可知AB边与平面CFD平行.

变式：与图6中的FO平行的平面有哪些？

例2 如图7所示，四棱锥P－ABCD中的底面ABCD为矩形，AB，PC边的中点分别为点M，N. 求证：NM与平面ADP平行.

解析 取PD边的中点Q，连接QA，QN，证得四边形QNMA为平行四边形，可得NM∥QA，结合线面平行定理可得NM与平面ADP平行.

从发展学生直观想象素养的角度来剖析以上两个例题，学生从题设条件与结论出发，通过对图形的加工，探寻出符合判定定理的相关条件，从而顺利获得问题的答案. 在此过程中，为图形添加辅助线起到了重要作用，这对学生的直观想象能力与逻辑思维能力有着较高要求，两者缺一不可.

通过例题的探索，学生不仅掌握了本节课的教学主题——线面平行定理，拥有了解决实际问题的能力，还从中体悟到了重要的数学转化思想，对促进个人思维的发展有着深远影响.

6. 提炼总结，反思升华

当学生面临一个问题时，第一反应就是有没有更简单、更便捷、更通性的方法来解决这个问题. 这就需要学生在日常学习中学会提炼与总结，尽可能地将一些解决方法提炼成相应的小模型，再将这些小模型织成一張大网络根植于脑海中，形成直观形象的解题图谱，为提升解题效率奠定基础.

例如本节课从教学内容的处理来看，学生经历了直观感知到操作确认再到思辨论证的过程. 学生自主猜想出线面平行定理后借助先进的信息技术手段进行了验证，因亲历了知识发生发展的全部过程，从而形成了深刻理解与长时记忆.

总之，立体几何教学本就以培养学生的空间想象能力与逻辑思维能力为“方向标”，因此课堂上必然少不了实践操作、多媒体演示等过程，学生从这些直观感知中不仅能全方位地认识基本空间图形，还能形成良好的几何直觉，为形成空间想象能力与逻辑推理能力夯实了基础.

参考文献：

［1］ M·克莱因. 古今数学思想（第1册）［M］. 张理京，译. 上海：上海科学技术出版社，1979.

［2］ 孔凡哲，史宁中. 关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J］. 课程·教材·教法，2012，32 （07）：92-97.

［3］ 王卫东，潘淑芬. 借助几何直观教学 积累数学活动经验［J］. 教学与管理，2014（05）：41-43.