“反证法”的一点教学困惑与释疑*

安徽省阜阳市第二中学 (236000) 刘兰梅

合肥工业大学附属中学 (230009) 王 峰

一、问题提出

由此看出,反证法的证题依据是根据逻辑性中的排中律与矛盾律,通过“否定命题结论的反面,从而知原命题的结论正确”,其实质上是驳倒结论的反面,从而反衬出原命题的结论正确,故称反证法属于间接证法.

在多年的教学实践中,笔者一直有个困惑,那就是在运用反证法处理问题中,从“反设(假设结论的否定正确)”出发进行推理论证,导出矛盾,此时我们就说“反设”错误,究竟为何呢?即由“矛盾”怎么就知道一定是由于“反设”造成的呢?其依据的原理是什么?有的教师认为反证法实质上是改正原问题的逆否问题,但反证法证题过程中时,从两个不同角度进行论证,出现“自相矛盾”的现象显然不是证原问题的逆否问题,故知反证法的本质是改证其逆否命题的说法不完全正确,那么由“矛盾断定反设错误”这一理论依据是什么呢?

二、问题解决

众所周知,在运用反证法处理问题时,出现的矛盾的情形概括起来无外乎三种情况:一是与数学知识或常识性知识矛盾;二是与题设条件矛盾;三是自相矛盾.事实上,由于出现矛盾的情形不同,则其由“矛盾”断定“‘假设’是错误的”的原理也有所不同,要因“法”而已,下面就根据“矛盾”这三种情形诠释一下它们判断“反设错误”的依据.

(1)当所证的命题是一个“简单命题时”时,这样的命题若用反证法论证时,出现的就是与“常识性知识或题设条件”的矛盾.这种情况的逻辑基础是原命题与其逆否命题的等价性.

(2)当所证明的命题是“若‘p且q’,则r”时,这种形式的命题若用反证法论证时,我们常常论证命题“r且p⟹q”或“r且q⟹p”成立,其推理模式是逻辑学中的反三段论,反三段论的前提“如果p且q,那么r”,可以看作一个三段论,反三段论的结论是“如果p并且非r,那么非q”可以看作是把该三段论的一个前提加以否定,结论也加以否定,并且也调换它们的位置而成.反三段论不但前提蕴含结论,而且结论也蕴含前提,也就是说,前提与结论是等值的.

反三段论的形式是:如果p且q,那么r,所以如果(p并且非r),那么非q.(或如果(q并且非r),那么非p).这个推理形式的有效性可以这样来解释:如果同时具备p,q两个条件,那么就必然出现结果r;当条件p已经具备而结果r没出现时.就可以推断另一条件q没有具备.如零点存在性定理:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)上至少有一个零点.这个定理的条件有两个:(1)函数f(x)连续;(2)f(a)f(b)<0,结论是“f(x)在区间(a,b)上至少有一个零点”.“假设f(x)在区间(a,b)上没有一个零点且函数f(x)在[a,b]上连续,则f(a)f(b)≥0.”或“假设f(x)在区间(a,b)上没有一个零点且f(a)f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]不连续.”

由此看出,反三段论的本质是在题设条件有两个时,即“如果p且q,那么r,”将一个条件p保持不变的情况下,反证法论证的命题是“若非r,则q”,这就是原命题在条件p不变的情况下,命题“若q,则r”的逆否命题,故根据原命题与其逆否命题的等价性,由于反三段论命题:将一个条件p保持不变的情况下,“若非r,则q”是正确的,故知故知原命题在条件p不变的情况下,命题“若q,则r”是真的.反三段论在思维中上经常用到的,如果几个条件联合起来构成某一情况的充分条件,那么当该情况不出现时,就可推出几个条件中至少有一个条件不具备,凡是作这样的推理时,我们就是应用了反三段论的形式.

案例3函数f(x)在R上是递增的,且f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.

证明：假设a+b<0,则a<-b,b<-a,因为函数f(x)在R上是递增的,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-b),两式相加,得f(a)+f(b)

值得注意的是,利用“反三段论式”推理的反证法,也可理解为改证原命题的逆否命题,这与“反三段论式”的理解是如出一辙,本质一样.因为当命题的条件和结论不止一个时,原命题的逆否命题不是唯一的,且逆否命题含有原命题的部分条件,这将有助于应用反证法时采用不同的推理方法.例如,“若a,b都是正数,则ab是正数”为原命题,则“若ab不是正数且a正,则b不是正数”、“若ab不是正数且b正,则a不是正数”,它们都是原命题的逆否命题,故与原命题都是等价的.如案例3中,“若函数f(x)在R上是递增的,且a+b<0,则f(a)+f(b)

(3)当用反证法论证时,将结论的反面与题设所有条件都参与使用时,就会出现自相矛盾的现象,这种情形的推理模式是逻辑学中的归谬式推理.归谬式推理是根据某一判断蕴含着两个不可同真的结果,推出该判断为假的推理.归谬式推理的一般形式是:

如果P,那么Q

如果P,那么Q

所以非P

这个推理形式的意思是:如果从一个假定能够合乎逻辑地导出互相矛盾的结果来,则原来的假定不成立.

在这个推理模式中,为什么由“如果P,那么Q与 如果P,那么Q”就可知命题P是错误的呢?其原理是什么呢?因为“如果P,那么Q”⟺“若Q,则P”,又“如果P,那么Q”,故由“P⟹Q⟹P”,显然这样的命题P不存在,即非P.

特别指出的是,在利用反证法论证命题是,命题P是指“题设条件+反设”.如不妨设欲论证的命题为“若p,则q”,若用反证法论证命题“若p,则q”时.假设q成立,即将q作为已知条件,如再联手题设条件p,若从两个角度进行推理,导出r与r得矛盾出现,就属于归谬式推理,因为运用反证法论证时,若将p与q作为推证的条件,此时记“p与q”为P,则若由P既可推出r,又可推出r,根据归谬式推理知,命题P错误,即“p与q”错误,说明“p与q”至少有一个错误,而命题p是题设条件为真,故知q必错,根据矛盾律与排中律,知q必正确.

证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0;又a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥0,这与a+b+c≤0矛盾,故假设错误,所以a,b,c中至少有一个大于0.

当然,究竟推证的“矛盾”究竟使用三类中的哪一类,与论证过程的表达方式有关,如案例2,运用反证法也可这样表达过程:

三、教学思考

对于反证法的学习,常常表现为学生问教师:“反证法这一内容高考考不考?”从这个问法就可看出学生对于“反证法”的学习容易产生误解,认为学习反证法就是为了做题,实则时是对反证法的学习价值的认识不到位,的确,表面上,多年来高考试题没有明显呈现“反证法”的题目,但是运用反证法解题的思想无不是不知不觉中在使用.

例如在解答选择题时,我们为了判断某个选择支是否正确,不妨设A选项,若直接不易判断A是否正确,我们常常假设这个选择支A正确,如果结合题设条件进行推理,不出现矛盾,就认为A正确;如果结合题设条件进行推理,出现了矛盾,就认为A错误,这一错误判断的过程,其实就是使用了反证法的“反证思想”.

又如,举反例也是我们驳倒某个命题的常用方法,其实质上就是反证法的运用.特别是,当提出一个命题之后,就面临两种选择:一是推证命题成立;二是寻找一个满足命题的条件使结论不成立,从而否定这个命题,这就是举反例.

事实上,举反例是一种重要的反证手段,故学会构造反例也是一种重要数学技能,应该成为数学教学的基本内容而渗透于教学过程之中,所以学习反证法的意义重大,但为什么经常使用“反证法”的思想解题,而没有意识到在使用反证法呢?笔者认为根本原因是没有理解透反证法的原理所致,将反证法的三个步骤只是死记硬背的结果,解题时机械操作过程罢了,之所以出现这种现象,笔者认为教师在教授“反证法”时,推理讲的多,而对“反证法”的原理分析的少,结果导致学生知其然而不知所以然,很大程度上是我们教学中没有讲清楚根源,不清楚的讲解,学生没消化,不能做到融会贯通.本文给大家关于“反证法”的一个困惑解释一下,相信对大家有一定的帮助.