渗透类比思想 培养创新思维——以“等比数列及其通项公式”为例

江苏省西亭高级中学 (226300) 丁建兵

当下,数学教育侧重于方法、过程和个体体验,关注于学生自主学习能力和创新能力的提升.因此,在数学教学中,单一的知识讲授已经难以满足学生生长和思维发展的需求.教学中,教师有必要采用多种的教学方式和教学手段来提升学生的数学思维能力,以此提升学生的数学水平.类比思想方法在提高学生自主学习能力,激发学生潜能,发挥学生主体性等方面有着重要的应用.因此,教师应结合教学实际,创造机会引导学生通过新旧类比来理解和掌握新知,帮助学生建立完整的知识网络.笔者以“等比数列及其通项公式”为例,呈现类比思想在教学中的应用价值,以期通过类比提高学生的数学探究能力和创新能力.

一、教学分析

1、教学目标

(1)理解等比数列的定义及相关概念;

(2)掌握等比数列的通项公式,并运用通项公式求相关项;

(3)运用类比思想方法提高学生观察、归纳、分析等逻辑思维能力,提高学生数学学习水平.

2、教学重难点

(1)等比数列的定义及通项公式、等比中项等相关概念;

(2)等比数列通项公式的推导.

二、教学简录

1、导入

问题已知数列{an},其中a1=1,a2=2;数列{bn},其中b2=2.对任意的i、j、m、p∈N*,i+j=m+p,均有aibj=ambp,试求{an}与{bn}的通项公式.

问题给出后,教师让学生尝试运用等差数列的学习经验寻找解决问题的方法.

师:通过研究问题,你有什么发现?

师:很好,结合等差数列的学习经验,你认为我们应该如何来描述它的本质属性呢?它的通项公式又会是什么呢?

设计意图：借助问题让学生发现所研究的内容与之前所学不同,由此引发学生对新知探究的热情.同时,教师有意识引导学生联想等差数列,继而为类比教学作铺垫.

2、探索新知

环节1:探索定义

师:等差数列的定义大家还记得吗?

生齐声答:记得.

教师点名让学生陈述等差数列的定义.

在教师的启发和引导下,学生给出了等比数列的定义,教师进行补充,并给出等比数列的完整定义.

设计意图：引导学生与等差数列的定义相类比,抽象等比数列的本质属性,以此提高学生的抽象概括能力,激发学生探究热情.

环节2:探索通项公式

师:与等差数列的定义相比,你认为等比数列强调的是什么呢?(生积极思考)

生2:等比数列的任意项不能为0,即公比q不能为0.

生3:也就是说常数列一定是等差数列,但是它不一定等比数列,如0,0,0,….(生3补充道)

师:大家说得很好.那么对于问题1中的数列{an},它的通项公式会是什么呢?

在教师的启发和引导下,学生结合等差数列公式的推导经验,利用累乘的方法推导出等比数列的通项公式为an=a1qn-1.

这样完成等比数列概念的抽象和通项公式推导后,教师鼓励学生与等差数列相类比,并用列表方式进行小结.通过师生互动交流,教师给出下表:

在表1的基础上,进一步分析,从运算符号上进行总结归纳,从而得到了表2:

表1

表2

设计意图：教师充分发挥学生的主体性,引导学生进行对比分析,这样既帮助学生巩固了已有的等差数列的相关知识和经验,又让学生在自主探索中获得了新知.另外,在此环节,教师刻意放慢节奏,引导学生利用表格对比总结等差数列和等比数列的差异,让学生在理解知识的基础上,掌握数学研究方法,提升了学习质量.

环节3:探索性质

师:在学习等差数列时,我们还学习了等差中项,你认为等比中项会是什么呢?(生积极交流)

学生通过类比联想得到等比中项的概念后,教师指导学生进行科学验证.在此基础上,教师给出相应练习让学生进一步理解相关概念,并得到相关结论.

师:很好,若求9和25的等差中项A和等比中项G该如何求呢?

学生根据中项公式很快得到等差中项A是17,等比中项G是15或-15.

师:若数列{an}为等比数列,其中a1=9,a5=25,求a3的值.

问题给出后,部分学生结合上面解题经验给出a3的值为15或-15,显然部分学生掉入了教师预设的陷阱,由此教师充分利用这一生成让学生思考:这里为什么a3不能为负值.

师:结合以上问题,你能得出什么结论吗?

生5:在等比数列{an}中,其奇数项{a2n-1}和{a2n}各项的符号相同.

设计意图：教师从学生已经掌握的等差数列出发,通过类比联想让学生推理相关结论,以此提高学生学习能力,提升学生数学核心素养.

3、练习(略)

三、教学思考

等差数列和等比数列是高中的重要内容,也是高考的重要考点,两者既有明显的联系,也有一定的区别.在教学等比数列时,大多教师会从等差数列入手,开展类比教学,以此在巩固旧知的基础上让学生自主抽象相关的概念及性质,以此提高学生的逻辑思维能力,落实学生数学核心素养.

1、问题引领,引发类比

在本案例教学中,教师从学生熟悉的等差数列练习题入手,通过改编将问题转化为等比数列,由此引发认知冲突,既激发了学生的探究欲,又为本课开展类比学习埋下伏笔.在探索新知的过程中,教师鼓励学生运用类比方法进行探索,如在给等比数列下定义时,教师引导学生回顾等差数列的定义,然后通过类比抽象出等比数列的概念.当然,在以上教学中,除了引导学生进行知识方面的类比外,教师还重视引导学生关注方法的类比.如在推导通项公式时,教师引导学生从累差法入手,通过对比分析,自然发现累乘法,从而推导出等比数列的通项公式.通过类比提高了学生认识问题和解决问题的能力,提高了课堂教学有效性.

2、科学验证,求同存异

类比是一种重要的数学思想方法,它可以帮助学生在已有知识、经验的基础上进一步拓展延伸,以此培养学生的创造性思维,激发学生的创造潜能.不过类比得到的结论是一种猜想,具有一定的主观性,需要进行科学的验证.

例如,在探究等比中项时,不能想当然地认为等比中项与等比数列是充要条件,如0,0,0不是等比数列,但是02=0×0.因此,在教学中,既要“求同”,启发和引导学生发现知识间的内在联系,达到温故知新的效果,也要“求异”,指导学生对结论进行验证,从而有效避免形式上的类比而出现负向迁移.

总之,在高中数学教学中,教师要不断更新教学观念,引导学生关注知识的形成过程,有效地提升学习质量和学习效率.