由一道直线与椭圆问题引发的思考

韩进军

直线与椭圆问题比较常见.此类问题侧重于考查椭圆的性质、方程、定义，二次方程的性质，以及直线与椭圆的位置关系.直线与椭圆问题的命题形式多样，且通常较为复杂，很多同学不知该如何下手.现结合一道例题，探讨一下一类直线与椭圆问题的解法以及相关结论.

例1.已知椭圆的左右顶点分别为 A?，A?.过点的直线交椭圆于P，Q（P，Q 与 A，A?不重合）两点.设直线A，P 的斜率为h， 直线A?Q的斜率为h?.证明：h ·h?为定值.

本题较为复杂，有两条直线同时与椭圆相交.解答所用的常规方法是：根据直线的点斜式方程求得直线 A，P、A?Q 的方程，或根据直线的斜率公式求得直线 A，P、A?Q 的斜率，建立关于h 、h?的关系式.较为简单的方法是：设出直线PQ 的方程，联立直线和椭圆的方程，通过消元构造出一元二次方程，由韦达定理得出y?+y?、YiY?、x?+x?、x?x?， 进而求得  的表达式，通过化简求得h ·h?的值.

证明：

本题中与椭圆相交的两条直线较为特殊：过椭圆的顶点，且这两条直线的斜率之积为定值.经研究，笔者发现这类问题比较常见，且求解这类问题有"通法"，于是对其进行了深入的探究.

探究问题1.若A?，A? 是椭圆的左右顶点，过点D（n，0（（n≠±a） 的直线交椭圆于P、Q（P，Q  与点A?，A?不重合）两点，直线A，P 与 A?Q 的斜率分别为h?、h?， 直线A?P 与 A?Q 的斜率分别为 h?、h?，那么h，h?，h?，h?  之間有什么联系呢？

分析：

在解答此类问题时，只要根据D 点的坐标设出直线 PQ 的方程，便可将直线 PQ 的方程与椭圆的方程学联立，构造一元二次方程，根据韦达定理和直线的斜率公式建立关于h?、h?、h?、h?的关系式.

探究问题2.

根据上面的两个结论，我们可由其中两条直线的斜率确定第三条直线的斜率.

探究问题3.若直线A，P 与 A?Q 交于点M（xm，ym）， A，Q与 A?P 交于点N（x，y），  那么h 、h?、h?、h?之间有什么关系呢？

分析：

例2.

分析：

例3.

分析：

文中只分析了当直线与椭圆相交时，经过椭圆长轴端点的四条直线的斜率之间的关系，并得出相关结论.还有许多相关的问题和结论有待大家去研究.希望本文能起到抛砖引玉的作用，引起大家对直线与圆锥曲线问题的思考，探究出更多、更好的解题方法.

（作者单位：北京师范大学南山附属学校）