分类讨论思想在解答函数问题中的应用

饶莎

分类讨论思想是高中数学中的一种重要数学思想，是指将研究对象分为不同种类，再对每种类别进行讨论.运用分类讨论思想，将问题细化，不仅能降低解题的难度，还能使解题的思路更加有条理，从而提升解题的正确率.下面谈一谈分类讨论思想在解答几类函数问题中的应用技巧.

一、判断含参函数的单调性

若函数中含有参数，则在判断函数的单调性时，需对参数进行分类讨论，此时可采用分类讨论思想来解题.首先将f（x?）-f（x?），或对函数求导，并进行化简，将所得的结果配凑成几个因式的积；然后分别求出每个因式的零点，用零点将函数的定义域划分为几个子区间；再在每个子区间上讨论f（x?）-f（x?） 以及导函数的符号，据此判断出函数的单调性.

例1.

解：

对函数求导，并化简后，需重点讨论导函数的符号，即需讨论几个因式的符号.于是分析函数m（x）的特征：其图象开口方向向上，有一动一定两个零点.那么分类讨论的对象为：变化的零点x?=-a. 再運用分类讨论思想，讨论在0<-a<1、-a>1、-a=1  时导函数的符号，进而判断出函数的单调性.需要注意：（1）将导函数中的因式进行分解，化为几个因式的积的形式；（2）明确分类讨论的对象和标准.

二、求解分段函数问题

对于分段函数，在定义域内的不同自变量对应着不同的函数解析式.所以在解答分段函数问题时，经常要用分类讨论思想，对不同区间上的函数解析式、性质、图象、最值等进行分类讨论.

例2.

解：

该函数为分段函数，且每一区间段上的函数均为二次含参式.由于参数在一次常数项以及区间的分界点中，所以需将其分为x

可见，运用分类讨论思想，可将复杂问题简单化，抽象问题具体化.这样便能更精准、更有条理地解答问题.

（作者单位：江西省抚州市临川区第一实验学校）33