以皓骏设计“直线与平面垂直的判定”的积件及教学应用

张海东

摘 要：因教学内容的二维静态呈现方式和学生动手能力弱导致学生的直观想象能力难以得以发展.本文利用皓骏软件给学生创造一个实验探索的环境，借助于数学实验室，学生可以用鼠标拖动或观察参数的变化来动态认识图形变化的本质，用形象直观的动态图像表现抽象的定理，借此理解定理的形成过程.通过例题中的动态直观感受，更好地去理解定理的应用，提升学生直观想象的核心素养.

关键词：动态几何；积件；垂直

“直线与平面垂直的判定”是人教A版高中数学教材必修二第二章第三节“直线、平面垂直的判定及其性质”第一课时的教学内容.教材遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认知过程，从生活中的旗杆与地面垂直引入线面垂直的概念出发，接着通过折纸探究，让学生直观感知，然后直接给出线面垂直的判定定理，这容易让学生难以理解.在教育信息化背景下，动态数学技术融入数学课堂已成为解决数学重难点的有力手段，恰当地使用动态数学技术可以促进学生对数学本质理解.本文试图基于Hawgent皓骏动态数学软件设计“线面垂直判定”的教学积件，利用信息技术与数学知识的有机融合，培养学生空间想象能力.

1 教学设计与实施

1.1 动手试验，引出定理

折纸试验：请同学们准备一块三角形的纸片，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌子上，要求BD和DC与桌面接触.（1） 折痕AD与桌面垂直吗？（2） 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？

学生：我们小组经过反复试验和讨论得出结论：折痕AD⊥BC时，就可以判断AD垂直桌面.

1.2 基于皓骏，验证定理

1.2.1 积件制作步骤

（1） 绘制一个平面α和平面内的一条直线a

首先，下拉点击“3D坐标系”得到三维坐标系，并显示坐标系.点击“绘制|坐标点”弹出对话框，“x坐标”“y坐标”“z坐标”分别输入“2；2；-2；-2”“3；-3；-3；3”“0；0；0；0”得到坐标点A（2，3，0），B（2，-3，0），C（-2，-3，0），D（-2，3，0）.按住ctrl依次选择点A、B、C、D，单击“绘制|多边形”，得到平行四边形ABCD.该平行四边形ABCD用于表示平面.其次以同样的操作方式，得到E（2，0，0），F（-2，0，0），接着再绘制出线段EF.该线段用于表示平面内的一条直线.

（2） 绘制一条垂直于直线a的动直线l

点击“插入|变量尺”弹出对话框，“变量”“左端”“右端”“步数”分别输入“θ”“0”“π”“6”.点击“绘制|坐标点”弹出对话框，“x坐标”“y坐标”“z坐标”分别输入“0；0”“3*cos（θ）；0”“3*sin（θ）；0”得到G（3cosθ，3sinθ，0），H（0，0，0）.点击G点，再按住ctrl点H点，单击“绘制|约束点|对称点”，得到点G关于点H的对称点I，接着再绘制出线段GI，该线段用于表示垂直于直线a的动直线l.

（3） 测量角度与绘制直角标记

首先，按住ctrl依次选择点E、H、G，点击“测量|角度”，得到∠EHG=90.00°再点击“∠EHG=90.00°”，点击鼠标右键，弹出信息框，在“基本”处将测量精度改为“0”，得到∠EHG=90°.其次，点击E点，再按住ctrl点H点，单击“绘制|自由点|对象上的点”，得到线段EH上的自由点J.以同样的操作方式绘制得到线段GH上的自由点K，点击J点，再按住ctrl点H、K点，点击“变换|平移”弹出对话框，点击确定，得到变换点“L”.按住ctrl依次选择点J、L、K、H，单击“绘制|多边形”，得到矩形JLKH.拖动点J、K，将矩形调整到合适的大小，用于标记∠EHG.接着点击线段GI，再点击“绘制|跟踪”，同样点击多边形JLKH，再点击“绘制|跟踪”，拖动变量尺，得到线段GI随θ的变化而改变位置，但∠EHG一直都是90°.因此，动直线与平面内的一条直线保持垂直.

（4） 界面的优化

首先选中线段GI、EF，点击“设计|线宽”，增加线宽，改变颜色等.其次选中多边形ABCD、多边形JLKH，填充颜色，降低非透明度.接着右击对象中的“跟踪”，在画笔处将虚线改为“True”，增加线宽，改变颜色，降低非透明度；以及点击“插入|文字表格”将直线和平面用字母表示.最后选中需要隐藏的对象，按“Ctrl+H”隐藏，得到最终效果图1.

（5） 绘制与平面内的两条平行线都垂直的直线

在空间中，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，则这条直线与另一条直线也垂直.因此在前四步的基础上，只需要制作与直线a平行的直线b，即可探究一条直线与平面内两条平行直线垂直时，直线与平面的位置关系.按照上述操作方法制作线段CD上的自由点M，点击M点，再按住ctrl点F、E点，点击“变换|平移”弹出对话框，点击确定，得到变换点“N”.点击M点，再按住ctrl点N点，单击“绘制|线段”，得到线段MN.线段MN即为平行于直线a的直线b.最后优化界面，增加直线b的线宽，插入文字表格表示直线b，选中需要隐藏的对象，按“Ctrl+H”隐藏，得到最终效果图2.

1.2.2 积件的教学应用

动态数学技术应用于立体几何教学，与几何知识深度融合，使学生乐学、善学.首先，让学生感知直线l垂直于平面内一条直线a的情况，通过动画演示发现直线l无法始终垂直于平面α，如图1所示；接着让直线l垂直于平面内两条平行直线a和直线b，让学生通过动手动态操作发现直线l也不能与平面保持垂直，如图2所示；最后，让直线l垂直于平面内两条相交直线a和直线b，通过直线l与直线a或直线l与直线b夹角度数的变化，从而发现当直线l与直线a和直线b同时垂直时，直线与平面保持垂直.

1.3 动态分析，运用定理

在学生初步理解线面垂直的条件后，教师出示例题，引导学生完成，结合信息技术，利用蒙层功能，动态呈现题中线面之间的关系，通过应用加深学生对判定定理的运用.

例题 如图，已知点M是菱形ABCD所在的平面外一点，且MA=MC.

求证：AC⊥平面BDM.

师：请同学们梳理清楚题中已知条件，结合图形，看看要证明AC⊥平面BDM，还需要什么条件？

生：老师，根据菱形的性质，我们知道AC⊥BD（如图3），那么根据线面垂直的判定定理可知，还需要求证AC垂直于平面内另外一条和BD相交的直线，从图形上可以看出，在已知线段中只有MO.

师：这位学生已经找到一对垂直关系，那请哪位同学来说一下，怎么证明AC⊥MO？

生：我又看了一下题中的已知条件，MA=MC我们还没用到，结合菱形的性质可知点O为AC的中点，由△MAC为等腰三角形可知，MO⊥AC（如图4），由AC⊥BD及MO∩BD=O，根据线面垂直判定定理可知，AC⊥平面BDM.

师：上面两位学生回答得很好，思路清晰，语言严谨.老师把他们的思考过程用图形表示出来了，请同学们结合图形，写出解题思路.

2 积件在教学中应用的反思

与传统教学比较，本节课利用积件将动态数学技术与数学课堂融合，能促进学生的深度学习，主要体现在以下几个方面：一是直观演示，促进理解.积件的动态演示，帮助学生，突破空间想象难点，促进学生对线面判定定理的理解和運用；二是测量精准，助力验证.当说明直线和两条相交直线都垂直，才能证明线面垂直时，利用角度的变化来展现直角关系更具有说服力.