破解含参不等式问题的几个“妙招”

吕庆华

含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.

一、数形结合

数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.

例1.若当 x ∈（1，2）时，不等式（x -1）2

解：

不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f2（x）=loga x 的图象始终在 f1（x）=（x -1）2的上方的位置关系问题.结合图形来分析 f2（x）=loga x 的图象始终在f1（x）=（x -1）2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.

二、分离参数

对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.

例2.已知函数 f （x）=ax -4x -x2，當 x ∈（0，4]时，f （x）<0恒成立，求实数 a 的取值范围.

解：

解答本题，要先将实数 a 与变量 x 分离开；再根据 g（x） 的单调性求得当 x ∈（0，4] 时 g（x） 的值域，进而求出实数 a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.

三、分类讨论

由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.

例3

解；

该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数 F（x） 和m的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△ ≥ 0和△< 0 两种情况讨论 F（x） ≥ 0 时 m 的取值.

虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.