对有理数和无理数定义的教学思考

李寒月

摘 要：初中教学教材中，关于有理数与无理数的定义存在范畴不统一，无法体现其对立性的问题，这致使一线教师在教学时产生困惑。基于无理数的定义，从“外延”的角度，提出有理數的“新定义”，从而实现“有理数”和“无理数”的对立与统一。在此基础上，给出这一内容的部分教学设计。

关键词：初中数学；有理数；无理数；对立统一

苏科版初中数学教材把有理数和无理数的概念编排在一课时（《2.2有理数与无理数》），许多教师教学这部分内容时都感觉到别扭。何以如此？因为教材中关于有理数的定义是“能够写成分数形式mn（m、n是整数，n≠0）的数叫作有理数”，而关于无理数的定义是“无限不循环小数叫作无理数”。我们都知道，“有理数”和“无理数”就像“正数”与“负数”一样，是一个范畴（实数）内两个相对立的概念。“比0大的数叫正数”“比0小的数叫负数”。“比0大”“比0小”这些字眼，能让我们清晰地能感受到，“正”与“负”是在与同一个对象0相比较后，形成的相对立的两个概念。而反观上述有理数和无理数的定义，就很难感受到这种“对立性”，甚至感到两个定义表达的概念不在一个范畴内。这不免令人困惑。而要弄清这个问题，得从无理数的发现说起。

一、 无理数的发现与证明

据相关文献记载，无理数最早是由古希腊毕达哥拉斯学派发现的。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即所有的事物都可以用整数或两个整数的比来表示。通俗地说就是，世界上的数都是有理数。但是，学派中有一个名叫希帕索斯的人却发现，正方形的对角线长与边长的比就无法用两个整数的比来表示。在当时的背景下，这一发现对该学派的哲学信仰造成了巨大的冲击，希帕索斯甚至为此付出了生命的代价。最终，无理数的发现引发了第一次数学危机。

事实上，无理数与有理数一样是客观存在的，亚里士多德在其著作中用反证法证明了2是无理数：

［设计意图：在学生按正负性把所给的数分好类后，启发学生进行二级分类，通过统一它们的“样子”，引导学生将所有的数都化成小数，从而使所给数在形式上达到统一，为接下来按小数来分类做好充分的准备。］

任务三：抽象概括

引导学生概括有理数和无理数的定义：把有限小数和无限循环小数叫作有理数，把无限不循环小数叫作无理数。

［设计意图：带领学生通过前面的观察、计算、分类、归纳，抽象概括出有理数和无理数的定义，从而实现“有理数”和“无理数”在小数范畴内的对立统一。］

参考文献：

［1］ 欧几里得.几何原本［M］.兰纪正，朱恩宽，译.西安：陕西科学技术出版社，2020：224363.

［2］ 史宁中.数学思想概论（第1辑）——数量与数量关系的抽象［M］.长春：东北师范大学出版社，2008：95100.