三角恒等变换知识的“一线串通”及其教学论意义*

徐章韬

摘 要：遵循“寻找线索工具—确定基本出发点—把基本出发点用到极致—‘更上一层楼”这样的技术路线，用微积分工具将三角恒等变换知识“一线串通”。从数学教学论的角度来看，“一线串通”是一种减负增效的有效主张。

关键词：教育数学；三角恒等变换；微积分；一线串通；减负增效

*本文系教育部人文社会科学研究2022年度规划基金课题“‘双减政策落地的教师教学知识研究”（编号：22YJA880068）、华中师范大学教学研究项目“‘强师计划下数学教学论课程体系的重构与实践”（编号：202265）的阶段性研究成果。

三角函数又称圆函数，是圆的性质的解析表达，也是描述周期性现象的有力模型。曾有很多有价值的三角函數内容进入高中数学教材，后又被删除了一些。从基本与派生的关系来看，删除一些内容是有道理的。如三角恒等变换中的积化和差、和差化积公式，就是一些派生内容，删除了也不伤根本。但是，从另一个角度看，这些内容毕竟在历史上起到过重要作用，其中也包含丰富的思想因素。如果能挖掘出一条思想性较强的线索，把碎片化知识点串联起来，形成联系丰富的知识网络，那么具体的知识将增值，课内课外的界限将变得模糊，从而学生的学习也会变得更加自然、深入、有意义。下面，笔者尝试寻找适当的线索将三角恒等变换的知识串联起来，并进一步阐发“一线串通”的数学教学论意义。

一、 三角恒等变换知识的“一线串通”

将数学知识“一线串通”可遵循一定的技术路线。

（一） 寻找线索工具

二、 “一线串通”的数学教学论意义

“一线串通”是教育数学的重要主张，笔者在本系列之前的文章中也不断地强调过这一点，比如《矩阵与向量、数列的“一线串通”》一文，还有很多以“从……出发”“从……到……”为标题格式的文章。下面，从数学教学论的角度，结合现状，进一步谈一谈“一线串通”的意义。

数学教学论讲什么？或者说，数学教学论的课程体系究竟包括哪些内容？这个问题到现在还没有得到很好的解决。数学教学论要研究教学中的具体问题，但不能局限于一招一式，应该形成技法，形成理论。现在学界习惯谈学科核心素养和学科关键能力的形成，这是应该的，但不能因此而否定知识教学的意义，因为知识是能力（素养）之基。没有知识的多角度认识、深度理解及出色应用，而大谈能力（素养），其实是割裂了知识和能力（素养）之间的辩证关系。基于知识论发展数学教学论，构建有数学学科特色的数学教学论课程体系，使得数学教学论走出一般教学论的空虚，是应该大力研究的一件事。

数学教学论首先要重塑数学教师的教育观念。在听师范生授课的过程中，能明显地感受他们身上浓浓的应试“刷题”气息，因为他们很多就是这样过来的。改变这一教育观念的做法是通过具体的例子，晓之以教学之道，引起他们的共鸣，使他们相信遵循教学之道，一定会“减负增效”。

数学教学论还要讲究数学学科的特点。一般教学论或大教学论，视野宏大，给人以方法上的启发，但数学教学论要解决数学教学中十分具体的问题，要解决数学课程如何与学生的发展相遇，数学教学如何与学生的经验、心理相遇等问题。这里不唯有理念上、方法上的导向问题，还有一些技术上、操作上的实施问题，需要多方面解读数学学科、数学知识，读出数学学科、数学知识的多维属性，然后结合具体的学情作出适宜的选择。

在数学教学中，“一线串通”是一种减负增效的有效主张，并给出了一些处方式的方法：深度分析及适度拓展教材知识，理清知识之间的逻辑关系，从而“精中求简”（项武义语），把统摄的核心内容和基本的出发点吃透，一以贯之，打通知识之间的内在关联，使之主从关系分明、彼此相互支持，进而不断重复重点，循着脉络而学，把行为主义学习理论的精髓用到极致，理解学习即复习的要义，这样就能教得轻松、学得容易。相对地，一味地删减教材内容，看似可以“减负”，实则容易割裂知识之间的内在关联，结果反而因学不透彻而学得辛苦。