体验基本活动经验 培养数学核心素养

摘 要：本文就研究性课题学习研究角度对错排问题中的全错排概率问题进行研究，通过概率数值与1e的比对，猜想当参与排列的个数n→∞，全错排的概率为1e，并用错排数公式和e^x的泰勒展开公式进行了证明，得到全错排概率极限值和自然常数e的倒数相等.整个研究性学习过程体验了数学猜想、文献查阅，过程思考与证明的基本活动经验，培养学生发现问题和解决问题的能力.

关键词：排列组合；错排问题；自然常数e；泰勒展开；研究性学习；基本活动经验

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）18-0047-03

收稿日期：2023-03-25

作者简介：晏炳刚，硕士，中学高级教师，从事数学教学研究.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将数学基础知识、基本技能、 基本思想、 基本活动并称为“四基”，指出：“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学数学学科核心素养的有效载体^[1].数学研究性学习是学生在数学教师的指导下，从自身的数学学习、社会生活、自然界以及人类自身的发展中选取有关数学研究专题，以探究的方式主动地获取数学知识、应用数学知识解决数学问题的学习方式，对于高中学生而言，要开展研性学习，必须培养他们的实践能力.具体说来，主要包括：发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力^[2].数学研究性学习正是一种通过研究学习活动，获得数学活动基本经验，培养学生数学核心素养的有效途径之一.本文中，笔者展示了学生的研究过程，教师的指导方法以及查阅文献，寻找创新点的思考过程；体现了研究性学习在获得数学活动基本经验，培养学生核心素养重要价值.

1 問题的提出

1.1 课题背景

错排问题是组合数学中的经典问题之一.学生进入计数原理的学习，就可以思考这个问题.该问题有许多具体的形式.

比如：

在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况；

n个人坐在自己位置上，中途离开，回来随机坐下，有多少种n个人都没有坐在自己原来位置的情况？若设坐错位置的人数为随机变量ξ，ξ的分布列和期望又是多少？相关问题在文献[3-5]都有研究.

这两个问题，本质相同.是被数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）称为“组合数论的一个妙题”和“装错信封问题”的两个特例.

错排问题抽象为：数字1，2，3，…，n-1，n任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合.

1.2 初始研究

教师指导：高中常见问题有：

求巧合数ξ的分布列与期望.

ξ的分布列与期望学生能够很好解决，查阅文献[3-5]已有相关研究结果.

教师指导：学生处于研究的创新度考虑，同学们放弃这个点，转而思考全错排个数的问题.

1.3 研究转移

全错排数的定义为：有n个正整数1，2，3，…，n-1，n， 将这n个数重新排列，使其中的每一个数都不在原来的位置上，这种排列的个数称为正整数1， 2， … ，n-1，n的全错排数，且记k个正整数的全错排数为D_k（0≤k≤n）.规定D₀=1.

教师指导：全错排数如何得到？有什么特点？有没有递推公式？

学生活动：

当n=1，显然D₁=0.

当n=2，数列1，2的错排为2，1.所以D₂=1.

当n=3，数列1，2，3的错排为2，3，1;3，1，2.所以D₃=2.

当n=4，数列1，2，3，4的错排为2，1，4，3;

2，4，1，3;2，3，4，1;3，4，1，2;3，4，2，1;3，1，4，2;

4，3，2，1;4，1，2，3;4，3，1，2.所以D₄=9.

当n≤4时，同学们用枚举法可得错排数.

当n>4时，同学们能够自己建立起全错排数的递推公式，然而文献[2]中对此进行了推导，创新点已经失去.下面给出全错排数递推公式.

D（n）=（n-1）（D（n-1）+D（n-2）），n≥3.

1.4 研究再转移

全错排数都能用递推公式计算出来，那么接下来还有创新点吗？

教师指导：全错排数都可以计算出来，全错排数有没有规律？全错排数的概率有没有规律？

学生活动：想到这里，把全错排数概率规律就纳入考虑了.甚至概率倒数值都纳入了计算.

n个数全错排概率为

用递推公式把当n=5，6，7，8，9，10的全错排数计算出来.把n=2，3，…，10的全排列数，全错排概率，全错排概率倒数计算出来，如下表：

1.5 发现巧合

同学们经过计算发现：

当n为偶数时，1/P（n）

这些数值从两边夹逼自然常数e，当n变大时，夹逼得越紧.

教师指导：同学们，这里是否有一个结论呢？

1.6 提出猜想

猜想全错排概率值满足如下：

在此过程中同学们查阅资料，学习极限基本知识，得到了一个要证明的数学猜想.

从问题的选题到问题研究点的不停转移，最后观察数值，发现一个新的创新点，完整体验数学研究性学习的发现问题、提出问题过程，体验并获得数学活动基本经验，培养学生数学素养.

2 问题的证明

2.1 初始思考

猜想不证明，只能是猜想，只有证明了正确性才能称之为定理.教师接下来就指导学生查阅极限求法的相关资料，同学们通过极限的自我学习知道极限要求出来，多数都是一个式子，当自变量朝某处无限接近时，式子的值能无限接近某值.

由猜想公式知，要证明猜想成立，只有求出全错排数的通项公式.同学们思考后查阅资料已有证明.文献[5]中Herbert S.Wilf用高等数学的发生函数进行了证明.文献[6]用指数发生函数进行了证明，文献[4]、[5]、[8]对全错排数通向公式证明涉及到了容斥原理，递推公式和高等数学的幂级数.公式研究较多，在此同学们看懂证明直接引用全错排数公式即可.次处同学们能体会到站得高、看得远，是在在巨人肩膀上继续研究.

3 问题的反思

3.1 研究性学习活动体验数学基本活动经验

学生从错排问题选题的研究点不断转移直到发现全错排概率数值规律，猜想到全错排概率与自然常数e关系，用全错排公式和泰勒展开公式为工具进行证明，得到全错排概率与自然常数e有密切关系，把排列组合、概率、全错排公式、泰勒展开公式、自然常数e有机结合起来，展示了归纳、猜想、探究、证明的数学研究过程，亲自体验并获得数学活动基本经验.

3.2 研究性学习活动培养学生数学核心素养

学生在教师指导下，通过选题、改变研究点、寻找创新点、查阅资料、归纳猜想，探索证明、学习新知等方面亲身实践获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法，进而培养了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析的核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通髙中数学课程标（2017年版2020年修订）[Ｍ].北京 ：人民教育出版社，2020.

[2] 刘海涛.例谈构造递推关系模型在解题中的应用[J].中学数学研究（华南师范大学版），2022，

491（21）：18-21.

[3] 赖嘉辉.一道概率统计问题的探究与推广[J].中学数学研究，2021（01）：19-20.

[4] 张惠良. 错排问题—研究性学习的一个典型案例[J].数学通报，2005（10）： 47-49.

[5] 吴如光.错排问题的模型解释及求解[J].数理化解题研

究，2018（03）：27-28.

[6] Herbert S.Wilf.发生函数论[M].王天明，译.北京：清华大学出版社，2003：46-49.

[7] 李志荣.错排问题的指数发生函数证明及其新的恒等式[J].四川师范大学学报（自然科学版），2004（11）： 651-652.

[8] 宋婷婷，程绩.用递推关系解 Bernouli-Euler裝错信封问题[J].数学学习与研究，2017（3）：149-150.

[责任编辑：李 璟]