股票价格技术分析的数学原理及超前预测方法

摘 要：传统技术分析方法无法在数学上证明其有效性，使用古老而原始的图形和指标分析手段来获取股票价格中的基本波动信息，其分析结果不仅大大滞后于实际的股票价格变化趋势，还受随机噪声的严重干扰，具有很大的不确定性。本文根据《数理金融学》的实证研究结果建立了股票价格数学模型，从数学上证明了在微观尺度上表现出随机性和不可预测性的股票价格波动，在宏观尺度上具有总体的确定性和可预测性，并设计出LPD数字低通差分滤波器，可从股票价格数据中分离出相位超前的基本波动微分信号，提前预测基本波动的运动状态，以期为股票投资者提供及时有效的科学决策依据。

关键词：技术分析；股票价格数学模型；布朗噪声；微分超前预测；LPD低通差分滤波器

本文索引：高宏.<变量 2>[J].中国商论，2023（12）：-125.

中图分类号：F830.91 文献标识码：A 文章编号：2096-0298（2023）06（b）--05

1 引言

技术分析以股票市场过去和现在的价格和成交量等数据为分析对象，通过图形或数据处理手段来预测股票价格未来的变化趋势，从而为投资者确定股票买卖时机提供决策依据。现有技术分析理论只是一堆通过观察和归纳获得的个别经验总结，无法在数学上证明其有效性，也没有形成逻辑上严密、完整、系统的理论体系。技术分析虽然最早可追溯到18世纪中叶日本大米期货交易市场中使用的日式蜡烛图，但是现有技术分析仍然使用古老而原始的图形和指标分析手段来获取股票价格中的基本波动信息，其分析结果不仅大大滞后于实际的股票价格变化趋势，还会受到随机噪声的严重干扰，使得分析结果因人而异，具有很大的主观性、随意性和不确定性。马丁·普林格（Marin Pring）在其经典著作《技术分析》导论中首先表明：“技术分析研究的是可能性，而非确定性，技术分析是一门发现市场转折点的艺术”。此外，现有技术分析理论使用十字星、上吊线、墓碑线、头肩顶、双重底一系列带有浓厚占星术色彩的术语来描述股票价格的运动状态，因而受到学术界的广泛质疑和严厉批判（罗闻全，2014）。伯顿·马尔基尔（Burton Malkiel）在其畅销书《漫步华尔街》中写道 “在严格科学的检验下，技术分析和占星术没有区别”。

本文根据《数理金融学》“股票价格对数收益率为白噪声”的实证研究结果建立了股票价格数学模型，推导出了股票价格的功率谱密度，从数学上证明了在微观尺度上表现出随机性和不可预测性的股票价格波动，在宏观尺度上具有总体的确定性和可预测性，使具有100多年发展历史的技术分析学科从感性经验总结上升到理性科学理论，从而使人们对股票价格波动现象及规律的认识产生质的飞跃。本文设计了LPD数字低通差分滤波器，可从股票价格数据中提取相位超前的基本波动微分信号，提前预测股票价格基本波动的底部、上升、顶部和下降等运动状态，为股票投资者提供有效可靠的科学决策依据。

2 股票价格数学模型及功率谱密度

《数理金融学》研究领域的众多学者通过对股票市场的长期观察和实证研究，早就得出了“股票价格的对数收益率为白噪声（White Noise）”的结论（Fama，1965）。图1为2001—2022年的上证指数及其对数收益率（日），波形与电子线路中的白噪声信号相同，表明上证指数的变化在下一时刻的方向和大小是完全随机的。

假设s（t）为t时刻的股票价格，x（t）=ln s（t），则股票价格s（t）的对数收益率可表示为

式中，n（t）为零均值不相关白噪声函数。

式（1）为x（t）的一阶差分，设x（0）=0，则

从式（2）的股票价格模型可以看出，股票价格x（t）不仅与当前时刻的n（t）有关，还与过去所有时刻的n（t）有关，表明x（t）具有很强的记忆性，投资者可以根据历史价格和历史价格的变化来预测其未来的走势。

白噪声n（t）的功率谱密度在整个频域内为常量，由式（2）立即可得x（t）的功率谱密度：

式（3）中，ω为谐波分量的角频率；N0为白噪声n（t）的功率谱密度，其物理意义表示白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

从式（3）可以看出，x（t）的功率谱密度与ω2成反比。Andreadis（2000）对1988年12月1日—1998年4月1日的S&P 500标准普尔指数（日）进行了功率谱计算，得出了S&P 500指数的对数功率谱密度与频率的平方成反比的实证结果，与式（3）的理论推导结果完全相同。

股票价格x（t）的功率谱密度与ω2成反比，表明股票价格x（t）是能量集中在低频段的红噪声（Red Noise）或布朗噪声（Brown Noise），具有 1/f 分形特征标度变换下的结构不变性（自相似性），在宏观尺度上存在可以识别和利用的规律，具有可预测性。

此外，股票价格x（t）的功率谱密度与ω2成反比，表明x（t）中所有谐波分量的波动幅度与其波动周期成正比，与道氏理论和波浪理论对股票价格波动现象的描述完全一致。道氏理论用文字描述股票价格的这一现象，波浪理论则使用图形描述这一现象，它们是通过对股票市场多年的观察分析使用归纳方法得出的经验规律。

3 道氏理论的三种波动

道氏理论是技术分析的鼻祖，是由发明DJIA道琼斯指数，并创办《华尔街日报》的查尔斯·道（Charles Dow）在100年前创立的。查尔斯·道通过对股票市场的观察发现，股票价格是由以下三种不同周期的波动叠加而成：

（1）基本波动：周期1年或1年以上的波动，其波动幅度最大，是造成投资者盈利或亏损的根本原因。基本波动的上升过程形成股票市场的牛市，下降过程形成股票市场的熊市。基本波动源自投資者心理情绪周期行为的驱动，具有很大的惯性，基本波动的运动趋势可以被跟踪预测。受历史条件的局限，查尔斯·道并没有给出定量分析基本波动的有效方法。

（2）次级波动：周期3周到3个月的波动，波动幅度为基本波动幅度的1/3左右。次级波动的方向与基本波动的方向可能相同，也可能相反。当次级波动的方向与基本波动相反时，在牛市中会形成幅度较大的中期调整，使投资者误认为股票市场开始下跌；在熊市中会形成幅度较大的反弹，使投资者误认为股票市场开始反转。因此，次级波动具有很大的欺骗性，难以为股票投资者提供准确、可靠的科学决策信息。

（3）日常波动：周期为几天以内的波动，具有很强的随机性，不可预测。日常波动的幅度虽然不大，但是会对判断基本波动位置和趋势带来极大的随机噪声干扰。

查尔斯·道把上述三种波动形象地比喻为大海中的潮涨潮落，基本波动就像大海中的潮汐，海水在月球和太阳引力作用下形成确定性的周期波动；次级波动就像大海中的海浪，是海水受到风力的作用而产生的波动，其大小和方向很难预测；日常波动就像海面上的涟漪，小而不定，具有很强的随机性。

道氏理论认为：股票指数或股票价格的日常波动可能受到人为操纵，次级波动也可能在某种有限的程度上受到人为操纵，但是股票指数或股票价格中的基本波动无法人为操纵，也就是说，人为操纵无法撼动股票指数或股票价格中基本波动的运动趋势。

4 股票价格技术分析模型

查尔斯·道只觀察了5年的股票市场数据，没有发现股票价格波动中存在的长期线性趋势。第一位获得诺贝尔经济学奖的美国经济学家萨缪尔森（Samuelson）通过对半个世纪的美国股票市场进行实证研究发现，股票价格中存在长期线性趋势。

根据股票价格x（t）的功率谱密度与ω2成反比的性质及道氏理论对股票价格波动现象的描述方法，可将式（2）表示的股票价格数学模型简化为图2所示的技术分析模型。

由图2可以看出，实际股票价格由线性趋势（零频波动）、基本波动、次级波动和日常波动四种不同周期（频率）的波动叠加而成，因此股票价格可用公式定性表示为：

股票价格=线性趋势+基本波动+次级波动+日常波动

在四种不同周期的波动中，基本波动的幅度在有限时间内最大，是产生股票投资盈利或亏损的直接原因。基本波动带有股票投资者所需的所有信息，如果能在基本波动的底部（极小值）买入和顶部（极大值）卖出，就可消除投资风险，并实现投资收益最大化。

调整图2股票价格技术分析模型中次级波动的频率、幅值及初始相位，可模拟出传统技术分析理论中的所有典型股票价格图形及形态。

在2005—2007年的牛市中，上证指数从2005年6月6日的998.23点一直上升到2007年10月16日的6124.04点，增长幅度高达613.48%，但是平均到每天的上升趋势（基本波动）变化只有0.3%，而上证指数日常波动的最大幅度为9%，波动标准差为3.1%。因此，上证指数的上升趋势（基本波动）完全被日常波动所淹没，人们很难察觉到上升趋势（基本波动）的存在。

传统技术分析方法由于使用古老而原始的图形和指标分析手段来提取股票价格中的基本波动信息，不但难以消除随机噪声（日常波动）和短期波动（次级波动）对分析结果的干扰，因而造成分析结果因人而异，具有很大的主观性、随意性和不确定性，而且分析结果严重滞后于实际股票价格的变化趋势，无法为股票投资者提供及时准确的基本波动底部、上升、顶部和下降等状态信息。

股票投资者的盈利和亏损完全取决于买入点和卖出点在基本波动曲线上的相对位置，但是基本波动完全被日常波动和次级波动所淹没，而传统技术分析方法又无法完全消除日常波动和次级波动对基本波动的干扰，因此技术分析必须借助现代数字信号分析技术。先把隐藏在日常波动和次级波动中的基本波动分离出来，再准确判断出基本波动的运动状态（底部、上升、顶部、下降），才能为股票投资者提供及时准确的科学决策依据。

传统技术分析有三条重要的基本假设（Murphy，2012）：

（1）市场行为包含一切信息；

（2）价格以趋势方式演变；

（3）历史会重演。

表面来看，技术分析似乎只关心股票价格本身的波动状态及趋势，而不关注引起股票价格变化的宏观经济形势、行业发展趋势和企业经营状况等基本面因素。事实上，从股票市场系统模型来看（高宏，2020），股票价格是股票市场所有内、外部因素综合作用的结果，所有公开信息、内部信息、历史信息和噪声信息对股票价格的影响都会反映在股票价格的变化上，因此“市场行为包含一切信息”的基本假设与客观事实完全一致。

假设（2）和假设（3）实质上描述的是股票价格基本波动特征。假设（2）所说的趋势是指基本波动从波底上升到波顶的确定性过程，或从波顶下降到波底的确定性过程；假设（3）则是指基本波动的循环往复现象。

5 MA移动平均线

1935年，哈罗德·M·伽利（Harold M. Gartley）在《从股市中赢利（Profits in the Stock Market）》一书中首先使用了MA（moving averages）算数移动平均方法对股票价格数据进行平滑处理，以便清晰地看出股票价格中的基本波动变化趋势。

MA移动平均线是利用连续N个交易日股票收盘价的算数平均值计算出来的，其计算公式如下：

式中，Ci为第i日的股票收盘价。

MA移动平均线可消除股票价格数据中的日常波动（随机干扰）和次级波动（短期震荡），使股票价格的运动趋势变得平滑，因而成为证券投资领域应用最普遍的一种技术指标。

从数字信号分析的角度来看，MA移动平均计算方法实际上相当于一个FIR（Finite Impulse Response）数字低通滤波器，其单边带宽为2π/N，噪声减小比NRR（Noise Reduction Ratio）为1/N，只要N足够大，就能将日常波动和次级波动衰减到最低程度，因此长期MA移动平均线实质上是股票价格基本波动曲线。

但是，MA移动平均线计算方法会产生τ =（N-1）/2的相位延迟，使MA移动平均线（基本波动的波形）严重滞后于实际股票价格的趋势变化，无法为投资者提供及时准确的基本波动状态信息。

图3为京东方2013年2月—2019年8月的周K线、48周MA移动平均线和LPD低通差分滤波器曲线。由图3可以看出，MA移动平均线为连续、可微、无折点的光滑曲线，具有明显的底部、上升、顶部和下降等运动状态信息，但是MA移动平均线严重滞后于实际股票价格曲线，无法为投资者提供及时准确的买入和卖出信号。

6 微分超前预测原理

假设股票价格中的基本波动为简谐振动，即基本波动是按正弦函数规律变化的周期振动，其数学表达式为：

式中，A为振幅；ω为振动角频率；为初始相位。

假设T为基本波动完成一次振动所需的时间周期，则有：

对式（5）的基本波动进行微分，可得基本波动的微分表达式：

比较式（5）和式（7）可知，基本波动的微分具有以下两个重要特征：

（1）基本波动的微分是与基本波动具有相同频率的简谐振动；

（2）基本波动的微分较基本波动的相位超前π/2或1/4周期。

图4为式（5）描述的基本波动曲线和式（7）描述的基本波动微分曲线，可以看出基本波动微分曲线与基本波动曲线具有相同的振动频率，但其波形超前基本波动1/4周期，因此可用来提前预测基本波动的底部、上升、顶部和下降等运动状态。

简谐振动的微分超前预测原理在自动控制领域中获得了极为广泛的应用，各种自动控制系统中的微分控制器可对系统输出偏差进行超前校正，大幅度加快自动控制系统的响应速度，并降低系统响应的超调量。

7 LPD低通差分滤波器

LPD（Low-Pass Difference）低通差分滤波器是一种FIR数字滤波器，其显著特点是在实现低通滤波的同时一并进行差分运算，因此可用来提取股票价格数据中的基本波动微分信号波形，从而实现基本波动运动状态（底部、上升、顶部和下降）的超前预测。

FIR数字滤波器的输入/输出关系可表示为以下的差分方程：

式中，x（n）为FIR数字滤波器输入序列（股票价格时间序列），y（n）为FIR数字滤波器输出序列；h（n）为FIR数字滤波器系数，即FIR数字滤波器单位冲激响应；N为FIR数字滤波器的长度。

LPD（Low-Pass Difference）低通差分滤波器的频率响应可写为

式中，απ为低通差分滤波器的截止频率。

使用契比雪夫最佳一致逼近方法可求出LPD数字低通差分滤波器的所有滤波器系数h（n），获得较为理想的通带和阻带性能。

LPD数字低通差分滤波器具有MA移动平均线的低通滤波特性，有效衰减股票价格数据中的日常波动（随机干扰）和次级波动（短期波动），同时提取出基本波动的微分波形。

LPD数字低通差分滤波器与MA移动平均线一样，也会产生τ =（N-1）/2的延迟。假设股票价格基本波动的周期为T，若LPD数字低通差分滤波器的延迟：

则从股票价格数据中提取出的基本波动微分波形就会在相位上超前实际的基本波动或与实际的基本波动同步，从而可为股票投资者提供超前或及时准确的科学决策依据。

图3中的LPD数字低通差分滤波器曲线是从京东方股票数据中提取出的基本波动微分曲线。由于实际股票价格中的基本波动并非理想的简谐振动，其波底宽、波峰窄，因此LPD数字低通差分滤波器曲线的底部超前于实际股票价格的底部，顶部与实际股票价格同步，可为投资者提供超前的买入信号和及时的卖出信号。

8 结语

技術分析作为股票投资分析的主要工具，已被广泛运用于股票市场的投资交易活动中。但是，现有技术分析理论只是一堆分散、彼此毫无任何逻辑关系的经验总结，分析结果会因人而异，具有很大的主观性、随意性和不确定性。本文根据《数理金融学》“股票价格对数收益率为不相关白噪声”的实证研究结果，建立了股票价格数学模型，推导出股票价格的功率谱密度，使用数学语言描述并分析股票价格的波动现象及规律，证明了股票价格在宏观尺度上具有可预测性，使传统的技术分析理论从归纳经验总结发展成演绎科学理论，具有传统技术分析理论没有的客观性、普遍性、抽象性、确定性和超前预测特性，可为股票投资活动的量化分析、价格预测、投资决策、风险管理及市场监管提供及时准确的科学理论依据。

参考文献

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